题目

33/41 判断题（3分）曲线y=2x^2-lnx总是凹的.正确错误

33/41 判断题（3分） 曲线$y=2x^{2}-lnx$总是凹的. 正确 错误

题目解答

答案

函数 $ y = 2x^2 - \ln x $ 的定义域为 $ x > 0 $。求导得： 一阶导数 $ y' = 4x - \frac{1}{x} $， 二阶导数 $ y'' = 4 + \frac{1}{x^2} $。 由于 $ x > 0 $，则 $ \frac{1}{x^2} > 0 $，故 $ y'' > 4 > 0 $ 恒成立。 因此，曲线在定义域内始终凹向上。 答案：$\boxed{\text{正确}}$

解析

考查要点：本题主要考查函数凹凸性的判断方法，需要利用二阶导数的符号来确定曲线的凹凸性。

解题核心思路：

  1. 确定函数定义域：由于函数中含有$\ln x$，定义域为$x > 0$。
  2. 求二阶导数：通过两次求导得到$y''$的表达式。
  3. 分析二阶导数的符号：判断在定义域内$y''$是否恒正，从而确定曲线是否始终凹向上。

破题关键点：

  • 二阶导数的恒正性：通过代数变形或不等式分析，证明$y'' > 0$在$x > 0$时恒成立。

  1. 求一阶导数：
    $y' = \frac{d}{dx}\left(2x^2 - \ln x\right) = 4x - \frac{1}{x}$

  2. 求二阶导数：
    $y'' = \frac{d}{dx}\left(4x - \frac{1}{x}\right) = 4 + \frac{1}{x^2}$

  3. 分析二阶导数的符号：

    • 当$x > 0$时，$\frac{1}{x^2} > 0$，因此：
      $y'' = 4 + \frac{1}{x^2} > 4 > 0$
    • 结论：二阶导数在定义域内恒为正，说明曲线在定义域内始终凹向上。