题目
曲线=((x-1))^2((x-3))^2-|||-__ __的拐点个数为(). (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
曲线
的拐点个数为().
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
题目解答
答案
(C).
解析
步骤 1：求一阶导数
首先，我们需要求出给定函数的一阶导数。给定函数为$y=\left (x-1\right )^{2}\left (x-3\right )^{2}$。使用乘积法则和链式法则，我们得到：
$$y' = 2(x-1)(x-3)^2 + 2(x-1)^2(x-3)$$
$$y' = 2(x-1)(x-3)[(x-3) + (x-1)]$$
$$y' = 2(x-1)(x-3)(2x-4)$$
$$y' = 4(x-1)(x-3)(x-2)$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，我们需要求出二阶导数，以确定函数的凹凸性变化点。对一阶导数求导，我们得到：
$$y'' = 4[(x-3)(x-2) + (x-1)(x-2) + (x-1)(x-3)]$$
$$y'' = 4[(x^2-5x+6) + (x^2-3x+2) + (x^2-4x+3)]$$
$$y'' = 4(3x^2-12x+11)$$
$$y'' = 12x^2-48x+44$$
步骤 3：求二阶导数的零点
为了找到拐点，我们需要找到二阶导数的零点。解方程$y'' = 0$，我们得到：
$$12x^2-48x+44 = 0$$
$$3x^2-12x+11 = 0$$
使用求根公式，我们得到：
$$x = \frac{12 \pm \sqrt{144-132}}{6}$$
$$x = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{6}$$
$$x = \frac{12 \pm 2\sqrt{3}}{6}$$
$$x = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$
因此，二阶导数有2个零点，这意味着函数有2个拐点。
首先，我们需要求出给定函数的一阶导数。给定函数为$y=\left (x-1\right )^{2}\left (x-3\right )^{2}$。使用乘积法则和链式法则，我们得到：
$$y' = 2(x-1)(x-3)^2 + 2(x-1)^2(x-3)$$
$$y' = 2(x-1)(x-3)[(x-3) + (x-1)]$$
$$y' = 2(x-1)(x-3)(2x-4)$$
$$y' = 4(x-1)(x-3)(x-2)$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，我们需要求出二阶导数，以确定函数的凹凸性变化点。对一阶导数求导，我们得到：
$$y'' = 4[(x-3)(x-2) + (x-1)(x-2) + (x-1)(x-3)]$$
$$y'' = 4[(x^2-5x+6) + (x^2-3x+2) + (x^2-4x+3)]$$
$$y'' = 4(3x^2-12x+11)$$
$$y'' = 12x^2-48x+44$$
步骤 3：求二阶导数的零点
为了找到拐点，我们需要找到二阶导数的零点。解方程$y'' = 0$，我们得到：
$$12x^2-48x+44 = 0$$
$$3x^2-12x+11 = 0$$
使用求根公式，我们得到：
$$x = \frac{12 \pm \sqrt{144-132}}{6}$$
$$x = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{6}$$
$$x = \frac{12 \pm 2\sqrt{3}}{6}$$
$$x = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$
因此，二阶导数有2个零点，这意味着函数有2个拐点。