6.如果齐次线性方程组 ) kx+y-z=0 x+ky-z=0 2x-y+z=0 . 仅有零解,k应为 __

步骤 1：确定齐次线性方程组的系数矩阵
齐次线性方程组的系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
k & 1 & -1 \\
1 & k & -1 \\
2 & -1 & 1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算系数矩阵的行列式
齐次线性方程组仅有零解的条件是系数矩阵的行列式不为零。计算行列式：
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
k & 1 & -1 \\
1 & k & -1 \\
2 & -1 & 1
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：展开行列式
$$
\det(A) = k \begin{vmatrix}
k & -1 \\
-1 & 1
\end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix}
1 & -1 \\
2 & 1
\end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix}
1 & k \\
2 & -1
\end{vmatrix}
$$
$$
= k(k \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) - 1(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - 1(1 \cdot (-1) - k \cdot 2)
$$
$$
= k(k - 1) - 1(1 + 2) - 1(-1 - 2k)
$$
$$
= k^2 - k - 3 + 1 + 2k
$$
$$
= k^2 + k - 2
$$
步骤 4：求解行列式不为零的条件
$$
k^2 + k - 2 \neq 0
$$
$$
(k + 2)(k - 1) \neq 0
$$
$$
k \neq -2 \text{ 且 } k \neq 1
$$