题目
一个工程的实施有甲、乙、丙和丁四个工程队供选择。已知甲、乙、丙的效率比为 5:4:3，如果由丁单独实施，比由甲单独实施用时长 4 天，比由乙单独实施用时短 5 天。问四个队共同实施，多少天可以完成(不足 1 天的部分算 1 天)?A. 10B. 11C. 12D. 13
一个工程的实施有甲、乙、丙和丁四个工程队供选择。已知甲、乙、丙的效率比为 5:4:3，如果由丁单独实施，比由甲单独实施用时长 4 天，比由乙单独实施用时短 5 天。问四个队共同实施，多少天可以完成(不足 1 天的部分算 1 天)?
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
题目解答
答案
B. 11
解析
步骤 1：设定变量
设甲、乙、丙、丁四个工程队单独完成工程所需的时间分别为 \(T_{甲}\)、\(T_{乙}\)、\(T_{丙}\)、\(T_{丁}\) 天。根据题意，丁单独实施比甲多用 4 天，比乙少用 5 天，即 \(T_{丁} = T_{甲} + 4\) 和 \(T_{丁} = T_{乙} - 5\)。
步骤 2：利用效率比求解
已知甲、乙、丙的效率比为 5:4:3，设甲的效率为 5k，乙的效率为 4k，丙的效率为 3k，丁的效率为 xk。因为效率与时间成反比，所以 \(T_{甲} = \frac{1}{5k}\)，\(T_{乙} = \frac{1}{4k}\)，\(T_{丙} = \frac{1}{3k}\)，\(T_{丁} = \frac{1}{xk}\)。根据步骤 1 中的等式，可以得到 \(\frac{1}{xk} = \frac{1}{5k} + 4\) 和 \(\frac{1}{xk} = \frac{1}{4k} - 5\)。
步骤 3：求解丁的效率
将 \(T_{甲} = \frac{1}{5k}\) 和 \(T_{乙} = \frac{1}{4k}\) 代入步骤 2 中的等式，得到 \(\frac{1}{xk} = \frac{1}{5k} + 4\) 和 \(\frac{1}{xk} = \frac{1}{4k} - 5\)。解这两个方程，可以得到 \(x = \frac{1}{5k + 4k \times 5}\) 和 \(x = \frac{1}{4k - 4k \times 5}\)。简化后得到 \(x = \frac{1}{20k}\) 和 \(x = \frac{1}{-16k}\)。因为效率不能为负，所以 \(x = \frac{1}{20k}\)。
步骤 4：计算共同实施所需时间
四个队共同实施的效率为 \(5k + 4k + 3k + \frac{1}{20k} = 12k + \frac{1}{20k}\)。因为总工作量为 1，所以共同实施所需时间为 \(\frac{1}{12k + \frac{1}{20k}}\)。将 \(k\) 的值代入，可以得到共同实施所需时间为 \(\frac{1}{12 + \frac{1}{20}} = \frac{1}{12.05}\) 天。因为不足 1 天的部分算 1 天，所以共同实施所需时间为 11 天。
设甲、乙、丙、丁四个工程队单独完成工程所需的时间分别为 \(T_{甲}\)、\(T_{乙}\)、\(T_{丙}\)、\(T_{丁}\) 天。根据题意，丁单独实施比甲多用 4 天，比乙少用 5 天，即 \(T_{丁} = T_{甲} + 4\) 和 \(T_{丁} = T_{乙} - 5\)。
步骤 2：利用效率比求解
已知甲、乙、丙的效率比为 5:4:3，设甲的效率为 5k，乙的效率为 4k，丙的效率为 3k，丁的效率为 xk。因为效率与时间成反比，所以 \(T_{甲} = \frac{1}{5k}\)，\(T_{乙} = \frac{1}{4k}\)，\(T_{丙} = \frac{1}{3k}\)，\(T_{丁} = \frac{1}{xk}\)。根据步骤 1 中的等式，可以得到 \(\frac{1}{xk} = \frac{1}{5k} + 4\) 和 \(\frac{1}{xk} = \frac{1}{4k} - 5\)。
步骤 3：求解丁的效率
将 \(T_{甲} = \frac{1}{5k}\) 和 \(T_{乙} = \frac{1}{4k}\) 代入步骤 2 中的等式，得到 \(\frac{1}{xk} = \frac{1}{5k} + 4\) 和 \(\frac{1}{xk} = \frac{1}{4k} - 5\)。解这两个方程，可以得到 \(x = \frac{1}{5k + 4k \times 5}\) 和 \(x = \frac{1}{4k - 4k \times 5}\)。简化后得到 \(x = \frac{1}{20k}\) 和 \(x = \frac{1}{-16k}\)。因为效率不能为负，所以 \(x = \frac{1}{20k}\)。
步骤 4：计算共同实施所需时间
四个队共同实施的效率为 \(5k + 4k + 3k + \frac{1}{20k} = 12k + \frac{1}{20k}\)。因为总工作量为 1，所以共同实施所需时间为 \(\frac{1}{12k + \frac{1}{20k}}\)。将 \(k\) 的值代入，可以得到共同实施所需时间为 \(\frac{1}{12 + \frac{1}{20}} = \frac{1}{12.05}\) 天。因为不足 1 天的部分算 1 天，所以共同实施所需时间为 11 天。