(2) (int )_(1)^exln xdx;

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及定积分的计算步骤。
解题思路：被积函数是$x \ln x$的乘积形式，优先选择分部积分法。根据“ILATE”法则，将$\ln x$设为$u$，剩余部分$x dx$设为$dv$，通过分部积分公式逐步化简求解。
关键点：

1. 正确选择$u$和$dv$，确保积分过程简化；
2. 分部积分公式的准确应用，避免符号错误；
3. 代入上下限时的计算准确性，注意$\ln e = 1$和$\ln 1 = 0$的特殊值。

分部积分法应用

1. 设定变量：
   设$u = \ln x$，则$du = \dfrac{1}{x} dx$；
   设$dv = x dx$，则$v = \dfrac{1}{2}x^2$。

2. 应用分部积分公式：
   $\int_{1}^{e} x \ln x dx = \left. \dfrac{1}{2}x^2 \ln x \right|_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \dfrac{1}{2}x^2 \cdot \dfrac{1}{x} dx$

3. 化简剩余积分：
   $\int_{1}^{e} \dfrac{1}{2}x dx = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \int_{1}^{e} x^2 dx = \dfrac{1}{4} \left. x^2 \right|_{1}^{e}$

4. 代入上下限：

   • 第一项：$\left. \dfrac{1}{2}x^2 \ln x \right|_{1}^{e} = \dfrac{1}{2}e^2 \cdot 1 - \dfrac{1}{2}(1)^2 \cdot 0 = \dfrac{1}{2}e^2$
   • 第二项：$\dfrac{1}{4}(e^2 - 1)$

5. 合并结果：
   $\dfrac{1}{2}e^2 - \dfrac{1}{4}(e^2 - 1) = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4}$