设PX=K=dfrac(1)(k(k+1))，k=1，2，···，则E(X)=(,,,,,)A. 0B. 1C. 0.5D. 不存在

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的期望计算，以及对级数收敛性的判断能力。

解题核心思路：

1. 验证概率分布的合法性：确认所有概率之和为1。
2. 计算期望：通过求和公式展开，判断级数是否收敛。
3. 判断级数发散性：利用调和级数的发散性质得出结论。

破题关键点：

• 分式拆分法验证概率和为1。
• 化简期望表达式后，识别出调和级数的发散性。

步骤1：验证概率分布的合法性
概率分布需满足$\sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\} = 1$。
将$P\{X=k\} = \dfrac{1}{k(k+1)}$代入，利用分式拆分：
$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k(k+1)} &= \sum_{k=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} \right) \\&= \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots \\&= 1 \quad (\text{逐项相消后仅剩首项1}).\end{aligned}$
因此，概率分布合法。

步骤2：计算期望$E(X)$
期望公式为：
$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P\{X=k\} = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \dfrac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k+1}.$

步骤3：判断级数收敛性
将级数$\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k+1}$改写为$\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n}$，即调和级数$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$去掉首项。
调和级数是发散的，因此$\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n}$也发散，说明$E(X)$不存在。