题目
质点在xOy平面内运动,其运动方程为 =10-2(t)^2 =2t.-|||-(1)计算什么时刻其速度与位矢正好垂直?-|||-(2)什么时刻加速度与速度间夹角为45°?
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查质点平面运动的速度、加速度的计算，以及向量垂直和夹角条件的应用。
解题思路：
- 速度与位矢垂直：利用向量点积为零的条件，将位矢和速度的表达式代入，解方程即可。
- 加速度与速度夹角为45°：通过向量点积公式结合三角函数关系，建立方程求解时间。
关键点：
- 速度与位矢垂直：位矢为$(x, y)$，速度为$(v_x, v_y)$，满足$x v_x + y v_y = 0$。
- 加速度与速度夹角：利用$\cos 45^\circ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{|\vec{a}| |\vec{v}|}$，结合向量分量计算。
第（1）题
求速度与位矢垂直的时刻
- 求速度分量：
$v_x = \frac{dx}{dt} = -4t$，$v_y = \frac{dy}{dt} = 2$。 - 位矢表达式：
$\vec{r} = (x, y) = (10 - 2t^2, 2t)$。 - 点积为零条件：
$\vec{r} \cdot \vec{v} = x v_x + y v_y = 0$，代入得：
$(10 - 2t^2)(-4t) + (2t)(2) = 0$ - 化简方程：
$-40t + 8t^3 + 4t = 0 \implies 8t^3 - 36t = 0$ - 因式分解：
$t(8t^2 - 36) = 0 \implies t = 0 \text{ 或 } t = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{（舍去负解）}$
结论：$t = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \, \text{s}$。
第（2）题
求加速度与速度夹角为45°的时刻
- 求加速度分量：
$\vec{a} = (a_x, a_y) = (-4, 0)$。 - 速度分量：
$\vec{v} = (-4t, 2)$。 - 点积与模长：
$\vec{a} \cdot \vec{v} = (-4)(-4t) + 0 \cdot 2 = 16t$
$|\vec{a}| = 4, \quad |\vec{v}| = \sqrt{16t^2 + 4}$ - 利用$\cos 45^\circ$条件：
$\frac{16t}{4 \cdot \sqrt{16t^2 + 4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - 解方程：
$\frac{4t}{\sqrt{16t^2 + 4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies 16t^2 = 4 \implies t = \frac{1}{2} \, \text{s}$
结论：$t = \dfrac{1}{2} \, \text{s}$。