题目

设式 845 456 3212 456-|||-3 2 1 4-|||-2 1 4 3-|||-4 3 2 1，845 456 3212 456-|||-3 2 1 4-|||-2 1 4 3-|||-4 3 2 1 为 845 456 3212 456-|||-3 2 1 4-|||-2 1 4 3-|||-4 3 2 1 的代数余子式，求 845 456 3212 456-|||-3 2 1 4-|||-2 1 4 3-|||-4 3 2 1

设式 $\begin{vmatrix} 845 & 456 & 3212 &456 \\ 3 & 2 & 1 & 4\\ 2 & 1 &4 & 3\\ 4 & 3 &2 &1 \end{vmatrix}$ ， $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，求 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$

题目解答

答案

由题：

$A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 3 & 2 & 1 & 4\\ 2 & 1 &4 & 3\\ 4 & 3 &2 &1 \end{vmatrix}$ $\xlongequal[r_{3}-2r_{1},r_{4}-4r_{1}]{r_{2}-3r_{1}}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & -1 & -2 & 1\\ 0& -1 &2 & 1\\ 0 & -1 &-2 &-3 \end{vmatrix}\xlongequal[r_{4}-r_{2}]{r_{3}-r_{2}}$ $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & -1 & -2 & 1\\ 0& 0 &4 & 0\\ 0 & 0 &0 &-4 \end{vmatrix}=16$

故 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=16$

解析

步骤 1：理解代数余子式
代数余子式 ${A}_{ij}$ 是指在矩阵中，去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后，剩余的子矩阵的行列式值，乘以 $(-1)^{i+j}$。

步骤 2：计算 ${A}_{11}+{A}_{12}+{A}_{13}+{A}_{14}$
根据行列式的性质，我们可以通过对行列式进行行变换来简化计算。具体地，我们可以通过行变换将第一行的元素变为1，1，1，1，然后计算剩余行列式的值。

步骤 3：进行行变换
我们对行列式进行行变换，使得第一行变为1，1，1，1。具体地，我们进行以下变换：
- ${r}_{2}-3{r}_{1}$
- ${r}_{3}-2{r}_{1}$
- ${r}_{4}-4{r}_{1}$

步骤 4：计算行列式的值
经过行变换后，行列式变为：
$$
\left |\begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& -2& 1\\ 0& 0& 4& 0\\ 0& 0& 0& -4\end{matrix} | \right.
$$
这个行列式的值等于对角线元素的乘积，即 $1 \times (-1) \times 4 \times (-4) = 16$。