3.求下列极限(1) lim _(xarrow 0)(x)^2sin dfrac (1)(x);(2) lim _(xarrow 0)(x)^2sin dfrac (1)(x);
3.求下列极限
(1) 
(2) 
题目解答
答案
（1）我们考虑函数 
附近的取值情况。注意到正弦函数的值范围在 -1 到 1 之间，即 
成立。
我们将不等式乘以 。对于，不等式仍然成立。
现在我们来求解夹逼函数 
，它们分别表示上下夹逼函数的极限情况。由于 
都是关于 (x) 的二次函数，它们在 (x = 0) 处的极限都为 0。
因此，我们有：
根据夹逼定理，我们可以得到：
根据夹逼定理的性质，当上下夹逼函数的极限相同时，待求函数的极限也与其相等。因此，
综上所述，
。
（2）首先，我们注意到当x趋向正无穷大时，
也趋向正无穷大。因此，我们可以将问题转化为研究函数
在x趋向正无穷大时的行为。
我们知道
之间的角度，而增长得更快。所以，当x趋向正无穷大时，
的值会趋近于零。
为了证明这一点，我们可以使用极限的夹逼定理。我们可以找到两个函数g(x)和h(x)，满足以下条件：
1. 对于所有x>0，有
2.
让我们尝试构造这样的函数。考虑函数g(x) = 0和
显然，对于所有x>0，我们有
现在，我们来计算极限
根据定义，我们有：
由于
，并且
，根据极限的夹逼定理，我们可以得出结论：
因此，当x趋向正无穷大时，
解析
考查要点：
这两道极限题均考查夹逼定理（夹挤定理）的应用，需要根据函数的有界性构造适当的不等式，结合极限的性质求解。
解题思路：
- 第（1）题：利用$\sin \frac{1}{x}$的有界性（值域为$[-1,1]$），将原式夹在两个趋于0的函数之间，应用夹逼定理。
- 第（2）题：利用$\arctan x$的有界性（值域为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$），结合分母$x^2+1$的快速增长性，构造不等式求极限。
第（1）题
关键点：$\sin \frac{1}{x}$的值始终在$[-1,1]$之间，而$x^2$在$x \to 0$时趋于0。
步骤1：构造不等式
因为$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$，两边乘以$x^2$（非负数），不等式方向不变：
$-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2.$
步骤2：求夹逼函数的极限
当$x \to 0$时，$-x^2 \to 0$，$x^2 \to 0$。
步骤3：应用夹逼定理
因为上下界均趋于0，所以原式极限也为0：
$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0.$
第（2）题
关键点：$\arctan x$的值域为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，而分母$x^2+1$增长速度远快于分子。
步骤1：构造不等式
当$x \to +\infty$时，$\arctan x$趋近于$\frac{\pi}{2}$，但始终满足$0 \leq \arctan x \leq \frac{\pi}{2}$。因此：
$0 \leq \frac{\arctan x}{x^2 + 1} \leq \frac{\pi/2}{x^2 + 1}.$
步骤2：求夹逼函数的极限
当$x \to +\infty$时，$\frac{\pi/2}{x^2 + 1} \to 0$，而$0$的极限仍为0。
步骤3：应用夹逼定理
上下界均趋于0，故原式极限为0：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\arctan x}{x^2 + 1} = 0.$