题目
5.[判断题]判断：设函数f(x)在点x₀的某一邻域U(x₀)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是：f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x₀)当n→∞时的极限为零.（）A. 对B. 错
5.[判断题]
判断：设函数f(x)在点x₀的某一邻域U(x₀)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是：f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x₀)当n→∞时的极限为零.（）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解泰勒级数的定义
泰勒级数是函数在某一点的无穷级数展开，它由函数在该点的各阶导数值决定。泰勒级数的一般形式为：\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n \] 其中，$f^{(n)}(x_0)$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 $n$ 阶导数。
步骤 2：理解泰勒公式的余项
泰勒公式中的余项 $R_n(x)$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的泰勒级数展开与函数 $f(x)$ 之间的差值。余项 $R_n(x)$ 可以用拉格朗日余项或皮亚诺余项等形式表示。对于拉格朗日余项，有：\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1} \] 其中，$\xi$ 在 $x_0$ 和 $x$ 之间。
步骤 3：分析余项的极限
若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内能展开成泰勒级数，则当 $n \to \infty$ 时，余项 $R_n(x)$ 必须趋于零。这是因为泰勒级数的收敛性要求级数的和等于函数值，即：\[ \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 \] 反之，若余项 $R_n(x)$ 当 $n \to \infty$ 时的极限为零，则函数 $f(x)$ 在该邻域内能展开成泰勒级数。
泰勒级数是函数在某一点的无穷级数展开，它由函数在该点的各阶导数值决定。泰勒级数的一般形式为：\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n \] 其中，$f^{(n)}(x_0)$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 $n$ 阶导数。
步骤 2：理解泰勒公式的余项
泰勒公式中的余项 $R_n(x)$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的泰勒级数展开与函数 $f(x)$ 之间的差值。余项 $R_n(x)$ 可以用拉格朗日余项或皮亚诺余项等形式表示。对于拉格朗日余项，有：\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1} \] 其中，$\xi$ 在 $x_0$ 和 $x$ 之间。
步骤 3：分析余项的极限
若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内能展开成泰勒级数，则当 $n \to \infty$ 时，余项 $R_n(x)$ 必须趋于零。这是因为泰勒级数的收敛性要求级数的和等于函数值，即：\[ \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 \] 反之，若余项 $R_n(x)$ 当 $n \to \infty$ 时的极限为零，则函数 $f(x)$ 在该邻域内能展开成泰勒级数。