题目
下列命题中正确的是( )(5分) squareA.若X~p(λ),则D(X)=λ squareB.若X服从参数为λ的指数分布,则D(X)=(1)/(λ) squareC.若X~b(1,θ),则D(X)=θ(1-θ) squareD.若X服从区间[a,b]上均匀分布,则E(X^2)=(a^2+ab+b^2)/(3)
下列命题中正确的是( )(5分) $\square$
A.若X~p(λ),则D(X)=λ $\square$
B.若X服从参数为λ的指数分布,则$D(X)=\frac{1}{λ}$ $\square$
C.若X~b(1,θ),则$D(X)=θ(1-θ)$ $\square$
D.若X服从区间[a,b]上均匀分布,则$E(X^{2})=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$
A.若X~p(λ),则D(X)=λ $\square$
B.若X服从参数为λ的指数分布,则$D(X)=\frac{1}{λ}$ $\square$
C.若X~b(1,θ),则$D(X)=θ(1-θ)$ $\square$
D.若X服从区间[a,b]上均匀分布,则$E(X^{2})=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$
题目解答
答案
**答案：ACD**
**解析：**
- **选项A：** 泊松分布 $X \sim P(\lambda)$ 的方差 $D(X) = \lambda$，正确。
- **选项B：** 指数分布参数为 $\lambda$ 时，方差 $D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$，错误。
- **选项C：** 二项分布 $X \sim b(1, \theta)$ 的方差 $D(X) = \theta(1 - \theta)$，正确。
- **选项D：** 均匀分布 $X$ 在 $[a, b]$ 上，$E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$，正确。
**答案：ACD**
解析
本题考查常见概率分布的方差和期望公式，需准确记忆泊松分布、指数分布、二项分布、均匀分布的性质：
- 泊松分布的方差等于参数$\lambda$；
- 指数分布的方差为$\frac{1}{\lambda^2}$（注意与选项对比）；
- 二项分布当试验次数$n=1$时，方差退化为$\theta(1-\theta)$；
- 均匀分布的$E(X^2)$需通过积分公式计算。
选项A
泊松分布$X \sim P(\lambda)$的方差公式为$D(X) = \lambda$，正确。
选项B
指数分布的方差公式为$D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$，而选项中给出$\frac{1}{\lambda}$，错误。
选项C
二项分布$X \sim b(1, \theta)$的方差为$D(X) = n\theta(1-\theta) = \theta(1-\theta)$，正确。
选项D
均匀分布$X \sim U[a,b]$的$E(X^2)$计算如下：
$E(X^2) = \int_a^b x^2 \cdot \frac{1}{b-a} dx = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3},$
正确。