题目
求指导本题解题过程，谢谢您！12、计算二重积分 iint ((x+1))^2dxdy, 其中 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 2y} .
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
给定的积分区域 $D$ 由不等式 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2y$ 定义。为了更好地理解这个区域，我们将其转换为标准形式。通过完成平方，我们得到 ${x}^{2}+{(y-1)}^{2}\leqslant 1$，这表示一个以 $(0,1)$ 为中心，半径为 $1$ 的圆。
步骤 2：转换为极坐标
为了简化积分，我们使用极坐标变换。设 $x=r\cos\theta$ 和 $y=r\sin\theta$，则 $dxdy=rdrd\theta$。积分区域 $D$ 在极坐标下表示为 $0\leqslant r\leqslant 2\sin\theta$ 和 $0\leqslant \theta\leqslant \pi$。
步骤 3：计算二重积分
将 $(x+1)^2$ 转换为极坐标形式，得到 $(r\cos\theta+1)^2$。然后，将二重积分转换为极坐标下的形式并计算。
给定的积分区域 $D$ 由不等式 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2y$ 定义。为了更好地理解这个区域，我们将其转换为标准形式。通过完成平方，我们得到 ${x}^{2}+{(y-1)}^{2}\leqslant 1$，这表示一个以 $(0,1)$ 为中心，半径为 $1$ 的圆。
步骤 2：转换为极坐标
为了简化积分，我们使用极坐标变换。设 $x=r\cos\theta$ 和 $y=r\sin\theta$，则 $dxdy=rdrd\theta$。积分区域 $D$ 在极坐标下表示为 $0\leqslant r\leqslant 2\sin\theta$ 和 $0\leqslant \theta\leqslant \pi$。
步骤 3：计算二重积分
将 $(x+1)^2$ 转换为极坐标形式，得到 $(r\cos\theta+1)^2$。然后，将二重积分转换为极坐标下的形式并计算。