题目

例5 求曲面 =2-(x)^2-(y)^2 与 =(x)^2+(y)^2 所围成的立体的体积.

题目解答

答案

解析

本题考查利用二重积分求空间立体的体积。解题的关键思路是先确定两曲面所围成立体在 $xOy$ 平面上的投影区域，然后根据体积公式 $V=\iint_{\sigma} [f(x,y)-g(x,y)]d\sigma$（其中 $f(x,y)$ 为上曲面方程，$g(x,y)$ 为下曲面方程，$\sigma$ 为投影区域）来计算体积，最后通过合适的积分变换求解二重积分。

  1. 确定投影区域：
    • 联立两曲面方程 $\begin{cases}z = 2 - x^{2}-y^{2}\\z = x^{2}+y^{2}\end{cases}$，消去 $z$。
    • 由 $2 - x^{2}-y^{2}=x^{2}+y^{2}$，移项可得 $2x^{2}+2y^{2}=2$，即 $x^{2}+y^{2}=1$。所以两曲面交线在 $xOy$ 平面上的投影曲线方程为 $x^{2}+y^{2}=1$，投影区域 $\sigma$ 是一个单位圆域。
  2. 根据对称性简化体积计算：
    • 由于立体图形关于 $xOy$ 平面、$yOz$ 平面、$xOz$ 平面对称，所以整个立体的体积 $V$ 是第一卦限部分体积的 $4$ 倍。
    • 在第一卦限中，$x$ 的范围是 $0\leqslant x\leqslant 1$，$y$ 的范围是 $0\leqslant y\leqslant\sqrt{1 - x^{2}}$。
    • 上曲面方程为 $z_1 = 2 - x^{2}-y^{2}$，下曲面方程为 $z_2 = x^{2}+y^{2}$，则第一卦限部分的体积为 $\iint_{\sigma_1}[(2 - x^{2}-y^{2})-(x^{2}+y^{2})]d\sigma=\iint_{\sigma_1}(2 - 2x^{2}-2y^{2})d\sigma$，其中 $\sigma_1$ 是单位圆域在第一卦限的部分。
    • 那么整个立体体积 $V = 4\iint_{\sigma_1}(2 - 2x^{2}-2y^{2})d\sigma=4\cdot2\iint_{\sigma_1}(1 - x^{2}-y^{2})d\sigma$。
    • 转化为累次积分：$V = 4\cdot2\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}}(1 - x^{2}-y^{2})dy$。
  3. 计算内层积分：
    • 先计算 $\int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}}(1 - x^{2}-y^{2})dy$。
    • 根据积分公式 $\int(1 - x^{2}-y^{2})dy=(1 - x^{2})y-\frac{1}{3}y^{3}+C$。
    • 把积分上下限代入可得：$\left[(1 - x^{2})y-\frac{1}{3}y^{3}\right]_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}}=(1 - x^{2})\sqrt{1 - x^{2}}-\frac{1}{3}(1 - x^{2})^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}(1 - x^{2})^{\frac{3}{2}}$。
  4. 计算外层积分：
    • 此时 $V = 4\cdot2\int_{0}^{1}\frac{2}{3}(1 - x^{2})^{\frac{3}{2}}dx=\frac{16}{3}\int_{0}^{1}(1 - x^{2})^{\frac{3}{2}}dx$。
    • 令 $x=\sin t$，则 $dx=\cos tdt$。
    • 当 $x = 0$ 时，$t = 0$；当 $x = 1$ 时，$t=\frac{\pi}{2}$。
    • 原积分变为 $\frac{16}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^{2}t)^{\frac{3}{2}}\cos tdt$。
    • 因为 $1-\sin^{2}t=\cos^{2}t$，所以 $\frac{16}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos^{2}t)^{\frac{3}{2}}\cos tdt=\frac{16}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}tdt$。
  5. 利用积分公式计算$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}tdt$：
    • 根据积分公式 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}tdt=\begin{cases}\frac{(n - 1)(n - 3)\cdots1}{n(n - 2)\cdots2}\cdot\frac{\pi}{2},&n为偶数\\\frac{(n - 1)(n - 3)\cdots2}{n(n - 2)\cdots3},&n为奇数\end{cases}$。
    • 对于 $n = 4$，$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}tdt=\frac{3\times1}{4\times2}\times\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}$。
  6. 计算最终体积：
    • 把 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}tdt=\frac{3\pi}{16}$ 代入 $V=\frac{16}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}tdt$ 可得 $V=\frac{16}{3}\times\frac{3\pi}{16}=\pi$。