题目

3.设随机变量X服从Poisson分布，P(X=2)=P(X=3)，则P(X=4)=____。

题目解答

答案

由题意，$P(X=2) = P(X=3)$，代入泊松分布公式得： \[ \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} \] 消去共同项并化简得： \[ \lambda^2 \cdot \frac{1}{2} = \lambda^3 \cdot \frac{1}{6} \implies \lambda = 3 \] （$\lambda = 0$ 舍去）。将 $\lambda = 3$ 代入 $P(X=4)$ 的公式： \[ P(X=4) = \frac{3^4 e^{-3}}{4!} = \frac{81 e^{-3}}{24} = \frac{27 e^{-3}}{8} \] **答案：** $\boxed{\frac{27}{8} e^{-3}}$

解析

步骤 1：根据泊松分布公式
泊松分布的概率质量函数为：\[ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 其中，$\lambda$ 是泊松分布的参数，$k$ 是随机变量 $X$ 取的值。

步骤 2：利用给定条件
根据题目条件，$P(X=2) = P(X=3)$，代入泊松分布公式得：\[ \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} \]

步骤 3：求解 $\lambda$
消去共同项并化简得：\[ \lambda^2 \cdot \frac{1}{2} = \lambda^3 \cdot \frac{1}{6} \] \[ \lambda^2 \cdot \frac{1}{2} = \lambda^3 \cdot \frac{1}{6} \implies \lambda = 3 \] （$\lambda = 0$ 舍去）。

步骤 4：计算 $P(X=4)$
将 $\lambda = 3$ 代入 $P(X=4)$ 的公式：\[ P(X=4) = \frac{3^4 e^{-3}}{4!} = \frac{81 e^{-3}}{24} = \frac{27 e^{-3}}{8} \]