下列关于等价矩阵说法不正确的是( )。A. 若n阶方阵A, B等价，则其必与AB等价B. 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P_1, P_2, ..., P_l，使A = P_1P_2 ... P_lC. m times n阶同型矩阵A, B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ = BD. 方阵A可逆的充分必要条件是A等价于单位矩阵E

本题主要考查等价矩阵的相关知识，解题的关键在于对等价矩阵的定义、性质以及可逆矩阵与初等矩阵关系的理解和运用，通过对每个选项依据相关定理和性质进行分析判断。

选项A

• 矩阵等价的定义为：若存在可逆矩阵$P$和$Q$，使得$PAQ = B$，则称矩阵$A$与$B$等价。
• 仅知道$n$阶方阵$A$，$B$等价，只能说明存在可逆矩阵$P_1$，$Q_1$使得$P_1AQ_1 = B$，但无法得出$A$，$B$与$AB$等价的结论。
• 例如，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，$A$与$B$等价（因为$A$经过初等变换可得到$B$），而$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$。
• 矩阵$A$的秩$r(A)=1$，矩阵$B$的秩$r(B)=1$，矩阵$AB$的秩$r(AB)=0$，由于等价矩阵的秩相等，所以$A$，$B$与$AB$不等价，该选项错误。

选项B

• 可逆矩阵的性质：方阵$A$可逆的充分必要条件是$A$可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
• 因为对矩阵$A$进行初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵，进行初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵。
• 若$A$可逆，则$A$可以通过一系列初等变换化为单位矩阵$E$，即存在有限个初等矩阵$P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_l$，使得$P_1P_2\cdots P_lA = E$，那么$A = P_1^{-1}P_2^{-1}\cdots P_l^{-1}$，而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，所以$A$可以表示为有限个初等矩阵的乘积；反之，若$A = P_1P_2\cdots P_l$，因为初等矩阵都可逆，所以$A$可逆，该选项正确。

选项C

• 这是矩阵等价的充分必要条件的定义。
• 若存在$m$阶可逆矩阵$P$和$n$阶可逆矩阵$Q$，使得$PAQ = B$，则说明$A$可以通过初等行变换（左乘可逆矩阵$P$）和初等列变换（右乘可逆矩阵$Q$）得到$B$，所以$A$与$B$等价；反之，若$A$与$B$等价，则$A$可以通过一系列初等行变换和初等列变换得到$B$，而初等行变换和初等列变换都可以用可逆矩阵的乘法来表示，所以存在$m$阶可逆矩阵$P$和$n$阶可逆矩阵$Q$，使得$PAQ = B$，该选项正确。

选项D

• 方阵$A$可逆的充分必要条件是$A$的秩等于其阶数。
• 单位矩阵$E$的秩等于其阶数，若$A$等价于单位矩阵$E$，则$A$与$E$的秩相等，所以$A$的秩等于其阶数，即$A$可逆；反之，若$A$可逆，则$A$的秩等于其阶数，而单位矩阵$E$的秩也等于其阶数，所以$A$与$E$的秩相等，根据矩阵等价的充分必要条件可知$A$等价于单位矩阵$E$，该选项正确。