关于矩阵下列说法正确的是()A. 若 A 可逆,则 A 与任何矩阵可交换, AB = BAB. 若 A 可逆,则 A^T 也可逆C. 若 A 可逆, B 也可逆,则 A pm B 也可逆D. 若 A 可逆, B 也可逆,则 AB 不一定可逆

本题主要考查矩阵可逆的相关性质，解题思路是根据矩阵可逆的定义和性质，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

若矩阵$A$可逆，根据可逆矩阵的定义，存在矩阵$A^{-1}$，使得$AA^{-1}=A^{-1}A = E$（$E$为单位矩阵）。
可交换矩阵是指对于两个矩阵$A$和$B$，满足$AB = BA$。
例如，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，$A$是可逆矩阵，$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$。
计算$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，$BA=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，此时$AB = BA$。
再设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，$BA=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，这里$AB = BA$。
但设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$BA=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，还是$AB = BA$。
然而，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，$BA=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，依旧$AB = BA$。
一般地，设$A$可逆，$B$为任意矩阵，$AB$不一定等于$BA$，所以选项A错误。

选项B

若矩阵$A$可逆，则$\vert A\vert\neq 0$（$\vert A\vert$表示矩阵$A$的行列式）。
根据行列式的性质，$\vert A^T\vert=\vert A\vert$，因为$\vert A\vert\neq 0$，所以$\vert A^T\vert\neq 0$。
根据可逆矩阵的判定定理，若矩阵的行列式不为零，则该矩阵可逆，所以$A^T$也可逆，选项B正确。

选项C

若$A$可逆，$B$也可逆，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$，$A$的逆矩阵$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$B$的逆矩阵$B^{-1}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$。
计算$A + B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，而零矩阵的行列式$\vert A + B\vert = 0$，根据可逆矩阵的判定定理，行列式为零的矩阵不可逆，所以$A + B$不可逆，选项C错误。

选项D

若$A$可逆，$B$也可逆，则$\vert A\vert\neq 0$，$\vert B\vert\neq 0$。
根据行列式的性质，$\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert$，因为$\vert A\vert\neq 0$且$\vert B\vert\neq 0$，所以$\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert\neq 0$。
根据可逆矩阵的判定定理，行列式不为零的矩阵可逆，所以$AB$一定可逆，选项D错误。