函数 y = x arctan x 的图形是 ()。A. (-∞, 0)是凹的, (0, +∞)是凸的B. (-∞, +∞)处处是凹的C. (-∞, +∞)处处是凸的D. (-∞, 0)是凸的, (0, +∞)是凹的

步骤 1：求一阶导数
首先，我们需要求出函数 $y = x \arctan x$ 的一阶导数。使用乘积法则，我们得到：
$$
y' = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}
$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，我们需要求出函数的二阶导数，以确定函数的凹凸性。对一阶导数求导，我们得到：
$$
y'' = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}
$$
步骤 3：分析二阶导数的符号
为了确定函数的凹凸性，我们需要分析二阶导数的符号。由于 $1 + x^2 > 0$，我们只需要考虑 $\frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$ 的符号。当 $x^2 < 1$ 时，$\frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} > 0$，因此 $y'' > 0$，函数在 $(-1, 1)$ 上是凹的。当 $x^2 > 1$ 时，$\frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} < 0$，因此 $y'' < 0$，函数在 $(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$ 上是凸的。当 $x^2 = 1$ 时，$y'' = 0$，函数在 $x = \pm 1$ 处有拐点。
步骤 4：确定函数的凹凸性
根据二阶导数的符号，我们可以确定函数的凹凸性。函数在 $(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$ 上是凸的，在 $(-1, 1)$ 上是凹的。因此，选项 B 是正确的。