2. (16.6分) 设L是圆周x^2+y^2=a^2(a>0)负向一周，则曲线积分oint_(L)(x^3-x^2y)dx+(xy^2-y^3)dy=A. 0B. -(pi a^4)/(2)C. -pi a^4D. pi a^4

步骤 1：定义P和Q
设 $P = x^3 - x^2y$，$Q = xy^2 - y^3$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = y^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -x^2. \]
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，曲线积分可以转换为二重积分，即 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 将步骤 2 中的偏导数代入，得到 \[ \oint_{L} (x^3 - x^2y) \, dx + (xy^2 - y^3) \, dy = \iint_{D} (y^2 + x^2) \, dA. \]
步骤 4：转换为极坐标
由于 $L$ 是圆周 $x^2 + y^2 = a^2$，转换为极坐标，得到 \[ \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^3 \, dr \, d\theta. \]
步骤 5：计算二重积分
计算二重积分，得到 \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^3 \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{a} \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{a^4}{4} \, d\theta = \frac{\pi a^4}{2}. \]
步骤 6：考虑负向
由于 $L$ 负向，积分变为 \[ -\frac{\pi a^4}{2}. \]