3.设函数y(x)具有二阶导数,且曲线 l:y=y(x) 与直线 y=x 相切于原点.记α为曲-|||-线l在点(x,y)处切线的倾斜角,若 dfrac (dx)(dx)=dfrac (dy)(dx), 求y(x)的表达式.

题目分析

本题主要考查导数的几何意义、微分方程的建立与求解，关键是利用切线倾斜角与导数的关系，以及题目给出的微分方程条件求解函数$y(x)$。

解题步骤

步骤1：利用相切条件确定初始条件

曲线$y=y(x)$与直线$y=x$相切于原点，意味着：

• 原点$(0,0)$在曲线上：$y(0)=0$；
• 切线斜率等于直线$y=x$的斜率1：$y'(0)=1$（导数的几何意义）。

步骤2：建立微分方程

题目中“$\frac{dx}{dx}=\frac{dy}{dx}$”应为笔误，结合倾斜角$\alpha$的定义，正确条件应为$\frac{d\alpha}{dx}=\frac{dy}{dx}$（倾斜角对$x$的导数等于切线斜率）。

• 切线斜率$\tan\alpha=\frac{dy}{dx}=y'$，故$\alpha=\arctan y'$；
• 对$\alpha=\arctan y'$求导：$\frac{d\alpha}{dx}=\frac{1}{1+(y')^2}\cdot y''$；
• 由$\frac{d\alpha}{dx}=\frac{dy}{dx}$，得微分方程：
  $\frac{y''}{1+(y')^2}=y'$

步骤3：求解微分方程

设$p=y'$，则$y''=p'$，方程化为：
$\frac{p'}{1+p^2}=p\implies\frac{dp}{p(1+p^2)}=dx$
部分分式分解：$\frac{1}{p(1+p^2)}=\frac{1}{p}-\frac{p}{1+p^2}$，积分得：
$\int\left(\frac{1}{p}-\frac{p}{1+p^2}\right)dp=\int dx\implies\ln|p|-\frac{1}{2}\ln(1+p^2)=x+C_1$
化简：$\ln\left(\frac{|p|}{\sqrt{1+p^2}}\right)=x+C_1\implies\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}=Ce^x$（$C=\pm e^{C_1}$）。

步骤4：确定常数$C$并积分求$y(x)$

由初始条件$y'(0)=1$，代入$\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}=Ce^x$：
$\frac{1}{\sqrt{2}}=C\implies C=\frac{\sqrt{2}}{2}$
故$y'=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}e^x}{\sqrt{1-\frac{1}{2}e^{2x}}}=\frac{e^x}{\sqrt{2-e^{2x}}}$，积分得：
$y=\int\frac{e^x}{\sqrt{2-e^{2x}}}dx=\arcsin\left(\frac{e^x}{\sqrt{2}}\right)+C_2$
由$y(0)=0$：$0=\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+C_2\implies C_2=-\frac{\pi}{4}$。

最终表达式

$y(x)=\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}e^x\right)-\frac{\pi}{4}$