题目
5. 曲线 { y=4 . 在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线方程
给定的曲线方程为 $\left \{ \begin{matrix} z=\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{4}\\ y=4\end{matrix} \right.$，其中 $y$ 是常数，等于4。因此，曲线可以简化为 $z=\dfrac {{x}^{2}+{4}^{2}}{4}$，即 $z=\dfrac {{x}^{2}+16}{4}$。
步骤 2：计算偏导数
为了找到曲线在点(2,4,5)处的切线对于x轴的斜率，我们需要计算 $z$ 对 $x$ 的偏导数。偏导数 ${f}_{x}(x,y)$ 表示 $z$ 对 $x$ 的变化率，当 $y$ 保持不变时。因此，我们计算 ${f}_{x}(x,y)$：
${f}_{x}(x,y)=\dfrac {1}{4} \cdot 2x = \dfrac {1}{2}x$。
步骤 3：计算斜率
在点(2,4,5)处，$x=2$，因此 ${f}_{x}(2,4)=\dfrac {1}{2} \cdot 2 = 1$。这意味着在点(2,4,5)处，曲线的切线对于x轴的斜率是1。
步骤 4：计算倾角
斜率 $k=\tan \alpha$，其中 $\alpha$ 是切线对于x轴的倾角。因此，$\tan \alpha = 1$，从而 $\alpha = \dfrac {\pi }{4}$。
给定的曲线方程为 $\left \{ \begin{matrix} z=\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{4}\\ y=4\end{matrix} \right.$，其中 $y$ 是常数，等于4。因此，曲线可以简化为 $z=\dfrac {{x}^{2}+{4}^{2}}{4}$，即 $z=\dfrac {{x}^{2}+16}{4}$。
步骤 2：计算偏导数
为了找到曲线在点(2,4,5)处的切线对于x轴的斜率，我们需要计算 $z$ 对 $x$ 的偏导数。偏导数 ${f}_{x}(x,y)$ 表示 $z$ 对 $x$ 的变化率，当 $y$ 保持不变时。因此，我们计算 ${f}_{x}(x,y)$：
${f}_{x}(x,y)=\dfrac {1}{4} \cdot 2x = \dfrac {1}{2}x$。
步骤 3：计算斜率
在点(2,4,5)处，$x=2$，因此 ${f}_{x}(2,4)=\dfrac {1}{2} \cdot 2 = 1$。这意味着在点(2,4,5)处，曲线的切线对于x轴的斜率是1。
步骤 4：计算倾角
斜率 $k=\tan \alpha$，其中 $\alpha$ 是切线对于x轴的倾角。因此，$\tan \alpha = 1$，从而 $\alpha = \dfrac {\pi }{4}$。