题目
)(本题满分10分)-|||-设n为正整数,记Sn为曲线 =(e)^-xsin x(0leqslant xleqslant npi ) 与x轴所围图形的面积,求Sn,并-|||-求limSn·
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区间
曲线 $y={e}^{-x}\sin x$ 与x轴所围图形的面积，需要计算从 $0$ 到 $n\pi$ 的积分。由于 $\sin x$ 在 $[0, \pi]$、$[\pi, 2\pi]$、$[2\pi, 3\pi]$ 等区间内正负交替，因此需要分段计算。
步骤 2：计算单个周期的面积
在 $[0, \pi]$ 区间内，$y={e}^{-x}\sin x$ 为正，因此面积为正。在 $[\pi, 2\pi]$ 区间内，$y={e}^{-x}\sin x$ 为负，因此面积为负。因此，单个周期的面积为：
$$
\int_{0}^{\pi} {e}^{-x}\sin x dx - \int_{\pi}^{2\pi} {e}^{-x}\sin x dx
$$
由于 $\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 和 $[\pi, 2\pi]$ 区间内对称，因此两个积分的绝对值相等，但符号相反。因此，单个周期的面积为：
$$
2\int_{0}^{\pi} {e}^{-x}\sin x dx
$$
步骤 3：计算单个周期的积分
使用分部积分法计算单个周期的积分：
$$
\int_{0}^{\pi} {e}^{-x}\sin x dx = -\frac{1}{2}({e}^{-\pi}+1)
$$
因此，单个周期的面积为：
$$
2\int_{0}^{\pi} {e}^{-x}\sin x dx = -({e}^{-\pi}+1)
$$
步骤 4：计算n个周期的面积
由于n个周期的面积为n个单个周期的面积之和，因此：
$$
S_n = n\cdot(-({e}^{-\pi}+1))
$$
步骤 5：计算极限
当 $n$ 趋于无穷大时，$S_n$ 趋于无穷大，因此：
$$
\lim_{n\to\infty} S_n = -\infty
$$
曲线 $y={e}^{-x}\sin x$ 与x轴所围图形的面积，需要计算从 $0$ 到 $n\pi$ 的积分。由于 $\sin x$ 在 $[0, \pi]$、$[\pi, 2\pi]$、$[2\pi, 3\pi]$ 等区间内正负交替，因此需要分段计算。
步骤 2：计算单个周期的面积
在 $[0, \pi]$ 区间内，$y={e}^{-x}\sin x$ 为正，因此面积为正。在 $[\pi, 2\pi]$ 区间内，$y={e}^{-x}\sin x$ 为负，因此面积为负。因此，单个周期的面积为：
$$
\int_{0}^{\pi} {e}^{-x}\sin x dx - \int_{\pi}^{2\pi} {e}^{-x}\sin x dx
$$
由于 $\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 和 $[\pi, 2\pi]$ 区间内对称，因此两个积分的绝对值相等，但符号相反。因此，单个周期的面积为：
$$
2\int_{0}^{\pi} {e}^{-x}\sin x dx
$$
步骤 3：计算单个周期的积分
使用分部积分法计算单个周期的积分：
$$
\int_{0}^{\pi} {e}^{-x}\sin x dx = -\frac{1}{2}({e}^{-\pi}+1)
$$
因此，单个周期的面积为：
$$
2\int_{0}^{\pi} {e}^{-x}\sin x dx = -({e}^{-\pi}+1)
$$
步骤 4：计算n个周期的面积
由于n个周期的面积为n个单个周期的面积之和，因此：
$$
S_n = n\cdot(-({e}^{-\pi}+1))
$$
步骤 5：计算极限
当 $n$ 趋于无穷大时，$S_n$ 趋于无穷大，因此：
$$
\lim_{n\to\infty} S_n = -\infty
$$