题目
4.4 设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= { , 则k,α分别为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定概率密度函数的归一化条件
概率密度函数需要满足归一化条件，即在整个定义域上的积分等于1。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{1} kx^a dx = 1
$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得到：
$$
\int_{0}^{1} kx^a dx = k \int_{0}^{1} x^a dx = k \left[ \frac{x^{a+1}}{a+1} \right]_{0}^{1} = k \frac{1}{a+1} = 1
$$
步骤 3：求解k
从步骤2的等式中，我们可以解出k：
$$
k = a + 1
$$
步骤 4：计算期望值
根据期望值的定义，我们有：
$$
EX = \int_{0}^{1} x \cdot kx^a dx = k \int_{0}^{1} x^{a+1} dx = k \left[ \frac{x^{a+2}}{a+2} \right]_{0}^{1} = k \frac{1}{a+2}
$$
步骤 5：代入已知的期望值
根据题目条件，$EX = \frac{3}{4}$，代入步骤4的等式，得到：
$$
k \frac{1}{a+2} = \frac{3}{4}
$$
步骤 6：联立求解k和a
联立步骤3和步骤5的等式，得到：
$$
\begin{cases}
k = a + 1 \\
k \frac{1}{a+2} = \frac{3}{4}
\end{cases}
$$
解这个方程组，得到：
$$
\begin{cases}
k = 3 \\
a = 2
\end{cases}
$$
概率密度函数需要满足归一化条件，即在整个定义域上的积分等于1。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{1} kx^a dx = 1
$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得到：
$$
\int_{0}^{1} kx^a dx = k \int_{0}^{1} x^a dx = k \left[ \frac{x^{a+1}}{a+1} \right]_{0}^{1} = k \frac{1}{a+1} = 1
$$
步骤 3：求解k
从步骤2的等式中，我们可以解出k：
$$
k = a + 1
$$
步骤 4：计算期望值
根据期望值的定义，我们有：
$$
EX = \int_{0}^{1} x \cdot kx^a dx = k \int_{0}^{1} x^{a+1} dx = k \left[ \frac{x^{a+2}}{a+2} \right]_{0}^{1} = k \frac{1}{a+2}
$$
步骤 5：代入已知的期望值
根据题目条件，$EX = \frac{3}{4}$，代入步骤4的等式，得到：
$$
k \frac{1}{a+2} = \frac{3}{4}
$$
步骤 6：联立求解k和a
联立步骤3和步骤5的等式，得到：
$$
\begin{cases}
k = a + 1 \\
k \frac{1}{a+2} = \frac{3}{4}
\end{cases}
$$
解这个方程组，得到：
$$
\begin{cases}
k = 3 \\
a = 2
\end{cases}
$$