质点从静止出发沿半径R=3m的圆周作匀变速运动,切向加速度a_t=3m/s^2.问: (1)经过多少时间后质点的总加速度恰好与半径成45°角?(2)在上面时间内，质点所经历的角位移和路程各为多少?

考查要点：本题主要考查圆周运动中匀变速运动的加速度合成及运动学公式的应用。
解题核心思路：

1. 总加速度方向与半径夹角为45°的条件：切向加速度$a_t$与法向加速度$a_n$大小相等，方向垂直。
2. 运动学公式应用：利用匀变速直线运动的速度公式和位移公式，结合圆周运动的几何关系求解角位移和路程。
   破题关键点：

• 明确总加速度的合成关系：总加速度$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$，当$a_t = a_n$时，$\tan\theta = 1$，对应$\theta = 45^\circ$。
• 法向加速度与速度的关系：$a_n = \dfrac{v^2}{R}$，结合匀变速运动的速度公式$v = a_t t$求解时间。

第（1）题

条件分析

总加速度与半径成45°角时，切向加速度$a_t$与法向加速度$a_n$大小相等，即：
$a_t = a_n.$

法向加速度公式

法向加速度由速度决定：
$a_n = \dfrac{v^2}{R}.$

联立方程求速度

将$a_n = a_t$代入得：
$\dfrac{v^2}{R} = a_t \implies v^2 = a_t R \implies v = \sqrt{a_t R}.$
代入$a_t = 3 \, \text{m/s}^2$，$R = 3 \, \text{m}$，得：
$v = \sqrt{3 \times 3} = 3 \, \text{m/s}.$

求时间

匀变速运动速度公式为$v = a_t t$，解得：
$t = \dfrac{v}{a_t} = \dfrac{3}{3} = 1 \, \text{s}.$

第（2）题

路程计算

切向方向做匀加速直线运动，路程公式为：
$S = \dfrac{1}{2} a_t t^2.$
代入$a_t = 3 \, \text{m/s}^2$，$t = 1 \, \text{s}$，得：
$S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 1^2 = 1.5 \, \text{m}.$

角位移计算

圆周运动中，角位移与路程关系为：
$\theta = \dfrac{S}{R}.$
代入$S = 1.5 \, \text{m}$，$R = 3 \, \text{m}$，得：
$\theta = \dfrac{1.5}{3} = 0.5 \, \text{rad}.$