题目
为防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：(1)发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；(2)B失灵的条件下，A有效的概率.
为防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：
(1)发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；
(2)B失灵的条件下，A有效的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
设“系统A有效”为事件A，“系统B有效”为事件B。由题意知，P(A) = 0.92，P(B) = 0.93，P(B|A') = 0.85，其中A'表示A的补事件，即A失灵。
步骤 2：计算P(A'B)
由条件概率公式，P(B|A') = P(A'B) / P(A')，其中P(A') = 1 - P(A) = 0.08。因此，P(A'B) = P(B|A') * P(A') = 0.85 * 0.08 = 0.068。
步骤 3：计算P(AB)
由全概率公式，P(B) = P(AB) + P(A'B)，所以P(AB) = P(B) - P(A'B) = 0.93 - 0.068 = 0.862。
步骤 4：计算至少一个系统有效的概率
至少一个系统有效即A+B，其概率为P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.92 + 0.93 - 0.862 = 0.988。
步骤 5：计算B失灵条件下A有效的概率
B失灵即B'，其概率为P(B') = 1 - P(B) = 0.07。A有效的概率为P(A) = 0.92。B失灵条件下A有效的概率为P(A|B') = P(AB') / P(B')。由于P(AB') = P(A) - P(AB) = 0.92 - 0.862 = 0.058，所以P(A|B') = P(AB') / P(B') = 0.058 / 0.07 ≈ 0.829。
设“系统A有效”为事件A，“系统B有效”为事件B。由题意知，P(A) = 0.92，P(B) = 0.93，P(B|A') = 0.85，其中A'表示A的补事件，即A失灵。
步骤 2：计算P(A'B)
由条件概率公式，P(B|A') = P(A'B) / P(A')，其中P(A') = 1 - P(A) = 0.08。因此，P(A'B) = P(B|A') * P(A') = 0.85 * 0.08 = 0.068。
步骤 3：计算P(AB)
由全概率公式，P(B) = P(AB) + P(A'B)，所以P(AB) = P(B) - P(A'B) = 0.93 - 0.068 = 0.862。
步骤 4：计算至少一个系统有效的概率
至少一个系统有效即A+B，其概率为P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.92 + 0.93 - 0.862 = 0.988。
步骤 5：计算B失灵条件下A有效的概率
B失灵即B'，其概率为P(B') = 1 - P(B) = 0.07。A有效的概率为P(A) = 0.92。B失灵条件下A有效的概率为P(A|B') = P(AB') / P(B')。由于P(AB') = P(A) - P(AB) = 0.92 - 0.862 = 0.058，所以P(A|B') = P(AB') / P(B') = 0.058 / 0.07 ≈ 0.829。