题目
设 ( X , Y ) 有联合密度f(x,y)= ) 2,0lt xlt 1,2xlt ylt 3lambda .,则 X 与 Y 相互独立
设 ( X , Y ) 有联合密度
,则 X 与 Y 相互独立
题目解答
答案
首先根据联合密度函数求出单独的密度函数
,求得在所给第一个区域内
再利用判断独立的公式EXY=EX*EY
而
所以并不独立
解析
步骤 1：求出边缘密度函数
为了判断随机变量 X 和 Y 是否相互独立，我们需要先求出它们的边缘密度函数。根据联合密度函数 f(x,y)，我们可以求出边缘密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。
步骤 2：计算边缘密度函数 $f_X(x)$
边缘密度函数 $f_X(x)$ 可以通过在 y 方向上对联合密度函数 f(x,y) 进行积分得到。即 $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy$。在给定的区域内，$f_X(x) = \int_{2x}^{3x} 2 dy = 2y|_{2x}^{3x} = 2(3x - 2x) = 2x$。
步骤 3：计算边缘密度函数 $f_Y(y)$
边缘密度函数 $f_Y(y)$ 可以通过在 x 方向上对联合密度函数 f(x,y) 进行积分得到。即 $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx$。在给定的区域内，$f_Y(y) = \int_{0}^{1} 2 dx = 2x|_{0}^{1} = 2$。
步骤 4：判断 X 和 Y 是否相互独立
如果 X 和 Y 相互独立，那么联合密度函数 f(x,y) 应该等于边缘密度函数的乘积，即 $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$。根据步骤 2 和步骤 3 的结果，$f_X(x) = 2x$，$f_Y(y) = 2$，所以 $f_X(x) \cdot f_Y(y) = 2x \cdot 2 = 4x$。然而，给定的联合密度函数 f(x,y) = 2，所以 X 和 Y 不是相互独立的。
为了判断随机变量 X 和 Y 是否相互独立，我们需要先求出它们的边缘密度函数。根据联合密度函数 f(x,y)，我们可以求出边缘密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。
步骤 2：计算边缘密度函数 $f_X(x)$
边缘密度函数 $f_X(x)$ 可以通过在 y 方向上对联合密度函数 f(x,y) 进行积分得到。即 $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy$。在给定的区域内，$f_X(x) = \int_{2x}^{3x} 2 dy = 2y|_{2x}^{3x} = 2(3x - 2x) = 2x$。
步骤 3：计算边缘密度函数 $f_Y(y)$
边缘密度函数 $f_Y(y)$ 可以通过在 x 方向上对联合密度函数 f(x,y) 进行积分得到。即 $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx$。在给定的区域内，$f_Y(y) = \int_{0}^{1} 2 dx = 2x|_{0}^{1} = 2$。
步骤 4：判断 X 和 Y 是否相互独立
如果 X 和 Y 相互独立，那么联合密度函数 f(x,y) 应该等于边缘密度函数的乘积，即 $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$。根据步骤 2 和步骤 3 的结果，$f_X(x) = 2x$，$f_Y(y) = 2$，所以 $f_X(x) \cdot f_Y(y) = 2x \cdot 2 = 4x$。然而，给定的联合密度函数 f(x,y) = 2，所以 X 和 Y 不是相互独立的。