题目

填空题（共13题，39.0分）23.（3.0分）lim_(xto0)(sin6x)/(2x)=____

填空题（共13题，39.0分） 23.（3.0分）$\lim_{x\to0}\frac{\sin6x}{2x}=$____

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x\to0}\frac{\sin6x}{2x}$，我们可以使用洛必达法则或者利用已知的极限公式。这里，我们将使用已知的极限公式 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$。 首先，我们对给定的极限进行变形，使其形式与已知的极限公式相似。我们有： \[ \lim_{x\to0}\frac{\sin6x}{2x} \] 可以将分子 $\sin6x$ 的自变量 $6x$ 与分母 $2x$ 进行比较。为了使用已知的极限公式，我们可以将分母 $2x$ 转换为 $6x$ 的形式。具体来说，我们可以将分母 $2x$ 乘以 $\frac{6}{2} = 3$，这样分母就变成了 $6x$。为了保持极限的值不变，我们还需要在极限表达式中除以这个 $3$。因此，我们有： \[ \lim_{x\to0}\frac{\sin6x}{2x} = \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin6x}{6x} \cdot \frac{6x}{2x}\right) = \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin6x}{6x} \cdot 3\right) \] 现在，我们可以将极限分成两个部分来求解。根据极限的乘法法则，我们有： \[ \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin6x}{6x} \cdot 3\right) = \left(\lim_{x\to0}\frac{\sin6x}{6x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to0}3\right) \] 我们知道 $\lim_{x\to0}\frac{\sin6x}{6x} = 1$，因为这个极限符合已知的极限公式 $\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} = 1$，其中 $u = 6x$。同时，$\lim_{x\to0}3 = 3$。因此，我们有： \[ \left(\lim_{x\to0}\frac{\sin6x}{6x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to0}3\right) = 1 \cdot 3 = 3 \] 所以，极限 $\lim_{x\to0}\frac{\sin6x}{2x}$ 的值是 $\boxed{3}$。

解析

考查要点：本题主要考查利用基本极限公式求解三角函数的极限，需要学生掌握对分式进行变形的技巧，将问题转化为已知的极限形式。

解题核心思路：
题目中的分式$\frac{\sin6x}{2x}$在$x \to 0$时属于$\frac{0}{0}$型不定式，但更直接的方法是通过调整分母与分子的系数，使其符合已知极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1$的形式，从而快速求解。

破题关键点：

  1. 分离系数：将分母$2x$拆分为$6x$的倍数，通过乘以和除以相同系数保持等价变形。
  2. 应用基本极限公式：将变形后的分式拆分为两个部分的乘积，分别求极限后相乘。

步骤1：调整分式形式
将原式$\frac{\sin6x}{2x}$改写为：
$\frac{\sin6x}{2x} = \frac{\sin6x}{6x} \cdot \frac{6x}{2x} = \frac{\sin6x}{6x} \cdot 3$

步骤2：应用基本极限公式
根据已知极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1$，可得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin6x}{6x} = 1$

步骤3：计算整体极限
将两部分的极限相乘：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin6x}{6x} \cdot 3 \right) = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin6x}{6x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} 3 \right) = 1 \cdot 3 = 3$