题目
求下列不定积分：int dfrac (sin xcos x)(1+{sin )^4x}dx.
求下列不定积分：
.
题目解答
答案
∵
可以凑微分成
∴
作变量代换
可得：
（
）
，
是任意常数.
（回代，）
即：
，是任意常数.
解析
步骤 1：变量代换
令 $t = \sin x$，则 $dt = \cos x dx$。这样，原积分可以写成 $\int \dfrac {t}{1+{t}^{4}}dt$。
步骤 2：积分变形
将积分变形为 $\dfrac {1}{2}\int \dfrac {2t}{1+{t}^{4}}dt$，这样可以方便地使用积分公式。
步骤 3：应用积分公式
应用积分公式 $\int \dfrac {1}{1+{u}^{2}}du=\arctan u+C$，其中 $u = t^2$，得到 $\dfrac {1}{2}\arctan {t}^{2}+C$。
步骤 4：回代
将 $t = \sin x$ 回代，得到 $\dfrac {1}{2}\arctan {(\sin x)}^{2}+C$。
令 $t = \sin x$，则 $dt = \cos x dx$。这样，原积分可以写成 $\int \dfrac {t}{1+{t}^{4}}dt$。
步骤 2：积分变形
将积分变形为 $\dfrac {1}{2}\int \dfrac {2t}{1+{t}^{4}}dt$，这样可以方便地使用积分公式。
步骤 3：应用积分公式
应用积分公式 $\int \dfrac {1}{1+{u}^{2}}du=\arctan u+C$，其中 $u = t^2$，得到 $\dfrac {1}{2}\arctan {t}^{2}+C$。
步骤 4：回代
将 $t = \sin x$ 回代，得到 $\dfrac {1}{2}\arctan {(\sin x)}^{2}+C$。