求(x,y)=24xy-6x(y)^2-4(x)^2y+(x)^2(y)^2的极值。

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数$f(x,y)=24xy-6x{y}^{2}-4{x}^{2}y+{x}^{2}{y}^{2}$的偏导数${f}_{x}$和${f}_{y}$，以找到可能的极值点。
${f}_{x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}=24y-12xy-8xy+2xy^{2}=24y-20xy+2xy^{2}$
${f}_{y}=\dfrac{\partial f}{\partial y}=24x-12xy-4x^{2}+2x^{2}y$
步骤 2：求驻点
令${f}_{x}=0$和${f}_{y}=0$，解方程组以找到驻点。
$24y-20xy+2xy^{2}=0$
$24x-12xy-4x^{2}+2x^{2}y=0$
解得驻点为(0,0)，(3,2)，(6,4)。
步骤 3：判断极值
为了判断这些驻点是否为极值点，我们需要计算二阶偏导数${f}_{xx}$，${f}_{yy}$和${f}_{xy}$，并使用Hessian矩阵的行列式来判断。
${f}_{xx}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-20y+2y^{2}$
${f}_{yy}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-12x+2x^{2}$
${f}_{xy}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=24-20x+4xy$
对于每个驻点，我们计算Hessian矩阵的行列式$H={f}_{xx}{f}_{yy}-{f}_{xy}^{2}$。
(0,0) : $H=0$，无法判断。
(3,2) : $H=-6\times(-18)-0^{2}=108$，且${f}_{xx}=-6\lt 0$，所以(3,2)为极大值点。
(6,4) : $H=0$，无法判断。