题目

注 类似地，已知当xin[2,4]时，ax+bgeqslant ln x，若int_(2)^4(ax+b-ln x)dx取得最小值，则a+b=____.

注 类似地， 已知当$x\in[2,4]$时，$ax+b\geqslant \ln x$，若$\int_{2}^{4}(ax+b-\ln x)dx$取得最小值，则a+b=____.

题目解答

答案

设直线 $y = ax + b$ 与曲线 $y = \ln x$ 在 $x = x_0$ 处相切，切线斜率 $a = \frac{1}{x_0}$，切点满足 $ax_0 + b = \ln x_0$，解得 $b = \ln x_0 - 1$。 积分 $\int_{2}^{4} (ax + b - \ln x) \, dx$ 最小化等价于最小化 $6a + 2b$。 代入得 $6a + 2b = \frac{6}{x_0} + 2\ln x_0 - 2$，求导得极值点 $x_0 = 3$。 此时 $a = \frac{1}{3}$，$b = \ln 3 - 1$，故 $a + b = \ln 3 - \frac{2}{3}$。 答案：$\boxed{\ln 3 - \frac{2}{3}}$

解析

考查要点：本题主要考查利用导数求函数极值、积分计算以及不等式恒成立条件下的优化问题。关键在于理解直线与曲线相切的条件，并将其转化为积分最小化的条件。

解题思路：

  1. 相切条件：为使积分最小，直线$y=ax+b$应尽可能贴近曲线$y=\ln x$，理想情况是两者在某点$x_0$处相切，此时两者函数值和导数均相等。
  2. 积分简化：积分$\int_{2}^{4}(ax+b-\ln x)dx$的最小值等价于最小化$6a+2b$（积分中与$a,b$相关的部分）。
  3. 极值求解：通过相切条件得到$a$和$b$关于$x_0$的表达式，代入$6a+2b$后对$x_0$求导，找到极小值点$x_0=3$，最终求出$a+b$。

相切条件分析

设直线$y=ax+b$与曲线$y=\ln x$在$x=x_0$处相切，则：

  1. 函数值相等：$ax_0 + b = \ln x_0$；
  2. 导数相等：$a = \frac{1}{x_0}$（因$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$）。

由$a = \frac{1}{x_0}$代入第一个方程，得：
$b = \ln x_0 - \frac{x_0}{x_0} = \ln x_0 - 1.$

积分最小化条件

积分$\int_{2}^{4}(ax+b-\ln x)dx$可拆分为：
$\int_{2}^{4}(ax+b)dx - \int_{2}^{4}\ln x dx.$
其中，$\int_{2}^{4}(ax+b)dx = \left[\frac{1}{2}ax^2 + bx\right]_2^4 = 6a + 2b$，而$\int_{2}^{4}\ln x dx$为常数。因此，最小化积分等价于最小化$6a + 2b$。

极值求解

将$a = \frac{1}{x_0}$和$b = \ln x_0 - 1$代入$6a + 2b$：
$6 \cdot \frac{1}{x_0} + 2(\ln x_0 - 1) = \frac{6}{x_0} + 2\ln x_0 - 2.$
对$x_0$求导并令导数为零：
$\frac{d}{dx_0}\left(\frac{6}{x_0} + 2\ln x_0 - 2\right) = -\frac{6}{x_0^2} + \frac{2}{x_0} = 0 \implies x_0 = 3.$
验证二阶导数$f''(3) = \frac{2}{9} > 0$，说明$x_0=3$是极小值点。

最终结果

当$x_0=3$时：
$a = \frac{1}{3}, \quad b = \ln 3 - 1,$
因此：
$a + b = \frac{1}{3} + (\ln 3 - 1) = \ln 3 - \frac{2}{3}.$