题目
设 D = (x, y)| 0 leq x leq 1, 0 leq y leq 1，则计算积分 int_(D) x e^-2y , dx , dy 得A. 1 - e^-2B. (1 - e^-2)/(4)C. (e^-2 - 1)/(2)D. (1 - e^-2)/(2)
设 $D = \{(x, y)| 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}$，则计算积分 $\int_{D} x e^{-2y} \, dx \, dy$ 得
A. $1 - e^{-2}$
B. $\frac{1 - e^{-2}}{4}$
C. $\frac{e^{-2} - 1}{2}$
D. $\frac{1 - e^{-2}}{2}$
题目解答
答案
B. $\frac{1 - e^{-2}}{4}$
解析
步骤 1：将二重积分转换为累次积分
将二重积分 $\int_{D} x e^{-2y} \, dx \, dy$ 转换为累次积分，先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分： \[ \iint_{D} x e^{-2y} \, dxdy = \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} x e^{-2y} \, dy \right) dx \]
步骤 2：计算内积分
计算内积分 $\int_{0}^{1} x e^{-2y} \, dy$： \[ \int_{0}^{1} x e^{-2y} \, dy = x \int_{0}^{1} e^{-2y} \, dy = x \left[ -\frac{1}{2} e^{-2y} \right]_{0}^{1} = \frac{x}{2} (1 - e^{-2}) \]
步骤 3：计算外积分
计算外积分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{2} (1 - e^{-2}) \, dx$： \[ \int_{0}^{1} \frac{x}{2} (1 - e^{-2}) \, dx = \frac{1 - e^{-2}}{2} \int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1 - e^{-2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 - e^{-2}}{4} \]
将二重积分 $\int_{D} x e^{-2y} \, dx \, dy$ 转换为累次积分，先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分： \[ \iint_{D} x e^{-2y} \, dxdy = \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} x e^{-2y} \, dy \right) dx \]
步骤 2：计算内积分
计算内积分 $\int_{0}^{1} x e^{-2y} \, dy$： \[ \int_{0}^{1} x e^{-2y} \, dy = x \int_{0}^{1} e^{-2y} \, dy = x \left[ -\frac{1}{2} e^{-2y} \right]_{0}^{1} = \frac{x}{2} (1 - e^{-2}) \]
步骤 3：计算外积分
计算外积分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{2} (1 - e^{-2}) \, dx$： \[ \int_{0}^{1} \frac{x}{2} (1 - e^{-2}) \, dx = \frac{1 - e^{-2}}{2} \int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1 - e^{-2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 - e^{-2}}{4} \]