lim_(x to 1) (arcsin(1-x))/(ln x)
$\lim_{x \to 1} \frac{\arcsin(1-x)}{\ln x}$
题目解答
答案
我们要求解的极限是：
$\lim_{x \to 1} \frac{\arcsin(1 - x)}{\ln x}$
第一步：变量代换，简化表达式
观察到当 $ x \to 1 $ 时，$ 1 - x \to 0 $，我们可以令：
$t = 1 - x \Rightarrow x = 1 - t$
当 $ x \to 1 $ 时，$ t \to 0 $
代入原式：
$\lim_{x \to 1} \frac{\arcsin(1 - x)}{\ln x} = \lim_{t \to 0} \frac{\arcsin t}{\ln(1 - t)}$
第二步：使用泰勒展开
我们使用泰勒展开近似表达式：
- $ \arcsin t \approx t + \frac{t^3}{6} + \cdots $（在 $ t \to 0 $ 时）
- $ \ln(1 - t) \approx -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \cdots $
所以：
$\frac{\arcsin t}{\ln(1 - t)} \approx \frac{t + \frac{t^3}{6}}{-t - \frac{t^2}{2} - \cdots}$
我们提取主项：
$\frac{\arcsin t}{\ln(1 - t)} \approx \frac{t}{-t} = -1$
因此极限为：
$\lim_{t \to 0} \frac{\arcsin t}{\ln(1 - t)} = -1$
第三步：得出最终答案
所以原极限为：
$\boxed{-1}$
解析
本题主要考察极限的计算方法，涉及变量代换和泰勒展开简化极限表达式。
步骤1：变量代换简化表达式
当$x \to 1$时，$1 - x \to 0$，令$t = 1 - x$，则$x = 1 - t$，且$t \to 0$。代入原式得：
$\lim_{x \to 1} \frac{\arcsin(1 - x)}{\ln x} = \lim_{t \to 0} \frac{\arcsin t}{\ln(1 - t)}$
步骤2：泰勒展开近似
利用泰勒展开公式（$t \to 0$时）：
- $\arcsin t \approx t + \frac{t^3}{6} + o(t^3)$（保留主项$t$即可）
- $\ln(1 - t) \approx -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} + o(t^3)$（保留主项$-t$即可）
代入分式得：
$\frac{\arcsin t}{\ln(1 - t)} \approx \frac{t}{-t} = -1$
步骤3：确认极限
当$t \to 0$时，高阶无穷小项可忽略，故极限为$-1$。