题目
求题图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。f(t)-|||-A-|||-o T 2T t
求题图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。
题目解答
答案
对于周期锯齿波信号,在周期 (0,T) 内可表示为 f(t)=\\frac{A}{T}t 系数 a_{0}=\\frac{1}{T}\\in{t}_{0}^{T}f(t)dt=\\frac{1}{T}\\in{t}_{0}^{T}\\frac{At}{T}dt=\\frac{A}{2}a_{n}=\\frac{2}{T}\\in{t}f(t)\\cos{n}\\omega_{1}tdt=\\frac{2 A}{T^{2}}\\in{t}t \\cdot \\cos{n}\\omega_{1}tdt=\\frac{2 A}{T^{2}}[\\frac{t \\sin{n}\\omega_{1}t}{n \\omega_{1}}]^{T}_{0}=0 b_{n}=\\frac{2 A}{T}\\in{t}_{0}^{\\pi}f(t)\\sin{n}\\omega_{1}tdt=\\frac{2 A}{T^{2}}[\\frac{t \\cos{n}\\omega_{1}t}{n \\omega_{1}}]^{T}_{0}=-\\frac{A}{n \\pi} 所以三角级数为 f(t)=\\frac{A}{2}-\\sum_{n=1}^{\\inf{ty}}\\frac{A}{n \\pi}\\sin{n}\\omega_{1}t
解析
步骤 1：确定周期信号的周期和表达式
周期信号的周期为 T，根据题图，周期信号在周期 (0,T) 内可表示为 f(t)=\\frac{A}{T}t。
步骤 2：计算傅里叶级数的常数项 a_{0}
a_{0} = \\frac{1}{T} \\int_{0}^{T} f(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{0}^{T} \\frac{A}{T} t dt = \\frac{A}{2}。
步骤 3：计算傅里叶级数的余弦项系数 a_{n}
a_{n} = \\frac{2}{T} \\int_{0}^{T} f(t) \\cos{n \\omega_{1} t} dt = \\frac{2 A}{T^{2}} \\int_{0}^{T} t \\cdot \\cos{n \\omega_{1} t} dt = \\frac{2 A}{T^{2}} [\\frac{t \\sin{n \\omega_{1} t}}{n \\omega_{1}}]^{T}_{0} = 0。
步骤 4：计算傅里叶级数的正弦项系数 b_{n}
b_{n} = \\frac{2}{T} \\int_{0}^{T} f(t) \\sin{n \\omega_{1} t} dt = \\frac{2 A}{T^{2}} [\\frac{t \\cos{n \\omega_{1} t}}{n \\omega_{1}}]^{T}_{0} = -\\frac{A}{n \\pi}。
步骤 5：写出傅里叶级数的三角形式
根据上述计算，周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式为 f(t) = \\frac{A}{2} - \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{A}{n \\pi} \\sin{n \\omega_{1} t}。
周期信号的周期为 T，根据题图，周期信号在周期 (0,T) 内可表示为 f(t)=\\frac{A}{T}t。
步骤 2：计算傅里叶级数的常数项 a_{0}
a_{0} = \\frac{1}{T} \\int_{0}^{T} f(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{0}^{T} \\frac{A}{T} t dt = \\frac{A}{2}。
步骤 3：计算傅里叶级数的余弦项系数 a_{n}
a_{n} = \\frac{2}{T} \\int_{0}^{T} f(t) \\cos{n \\omega_{1} t} dt = \\frac{2 A}{T^{2}} \\int_{0}^{T} t \\cdot \\cos{n \\omega_{1} t} dt = \\frac{2 A}{T^{2}} [\\frac{t \\sin{n \\omega_{1} t}}{n \\omega_{1}}]^{T}_{0} = 0。
步骤 4：计算傅里叶级数的正弦项系数 b_{n}
b_{n} = \\frac{2}{T} \\int_{0}^{T} f(t) \\sin{n \\omega_{1} t} dt = \\frac{2 A}{T^{2}} [\\frac{t \\cos{n \\omega_{1} t}}{n \\omega_{1}}]^{T}_{0} = -\\frac{A}{n \\pi}。
步骤 5：写出傅里叶级数的三角形式
根据上述计算，周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式为 f(t) = \\frac{A}{2} - \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{A}{n \\pi} \\sin{n \\omega_{1} t}。