(3) lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)({sin )^3x};

考查要点：本题主要考查利用等价无穷小替换和极限运算技巧求解三角函数的极限问题。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，$\tan x \sim x$，$\sin x \sim x$，$1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$。通过将分子和分母中的三角函数用等价无穷小替换，化简表达式，最终求得极限值。

破题关键点：

1. 分子变形：将$\tan x - \sin x$转化为$\tan x (1 - \cos x)$，便于后续替换。
2. 等价替换：利用$\tan x \sim x$和$\sin x \sim x$简化分子和分母。
3. 极限运算：结合替换后的表达式，代入等价无穷小关系，最终化简求极限。

步骤1：分子变形
将$\tan x - \sin x$提取公因子$\sin x$：
$\tan x - \sin x = \sin x \left( \dfrac{1}{\cos x} - 1 \right) = \sin x \cdot \dfrac{1 - \cos x}{\cos x}.$

步骤2：等价无穷小替换
当$x \rightarrow 0$时，$\sin x \sim x$，$\cos x \rightarrow 1$，因此：
$\sin x \cdot \dfrac{1 - \cos x}{\cos x} \sim x \cdot \dfrac{1 - \cos x}{1} = x(1 - \cos x).$

步骤3：分母替换
分母$\sin^3 x \sim x^3$，因此原式可化简为：
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x(1 - \cos x)}{x^3} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}.$

步骤4：应用等价无穷小
利用$1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$，代入得：
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{x^2} = \dfrac{1}{2}.$