题目

设函数 f(x) = } ln |x|, & x < 0, -e^x+1, & x geq 0, 则 f[f(1)] = _____.

设函数 $f(x) = \begin{cases} \ln |x|, & x < 0, \\ -e^{x+1}, & x \geq 0, \end{cases}$ 则 $f[f(1)] = \_\_\_\_\_.$

题目解答

答案

我们来一步一步地解这道题：

题目给出的函数定义：

$f(x) = \begin{cases} \ln |x|, & x < 0, \\-e^{x+1}, & x \geq 0 \end{cases}$

我们要计算的是：

$f[f(1)]$

第一步：先计算 $ f(1) $

因为 $ 1 \geq 0 $，所以使用函数定义中的第二部分：

$f(1) = -e^{1+1} = -e^2$

第二步：计算 $ f[f(1)] = f(-e^2) $

因为 $ -e^2 < 0 $，所以使用函数定义中的第一部分：

$f(-e^2) = \ln |-e^2| = \ln(e^2) = 2$

最终答案：

$\boxed{2}$

解析

本题考查分段函数的函数值计算。解题的关键在于根据自变量的取值范围，选择对应的函数表达式进行计算。对于复合函数$f[f(1)]$，需要先计算内层函数$f(1)$的值，再将该值作为自变量代入外层函数$f(x)$中计算。

  1. 计算$f(1)$的值：
    已知函数$f(x) = \begin{cases} \ln |x|, & x < 0 \\ -e^{x + 1}, & x \geq 0 \end{cases}$，因为$1\geq0$，所以将$x = 1$代入$f(x)= -e^{x + 1}$可得：
    $f(1)= -e^{1 + 1}=-e^2$
  2. 计算$f[f(1)]$的值：
    由上一步可知$f(1)= -e^2$，所以$f[f(1)] = f(-e^2)$。
    因为$-e^2<0$，所以将$x = -e^2$代入$f(x)=\ln |x|$可得：
    $f(-e^2)=\ln |-e^2|$
    根据绝对值的性质$\vert -a\vert=a$（$a>0$），可得$\vert -e^2\vert = e^2$，则$f(-e^2)=\ln (e^2)$。
    根据对数的运算法则$\ln a^b = b\ln a$，可得$\ln (e^2)=2\ln e$，又因为$\ln e = 1$，所以$2\ln e = 2\times1 = 2$。