题目
设当事件A和B同时发生时，事件C必发生，则下列选项正确的是（ ）A. P(C) = P(AB)B. P(C) = P(A cup B)C. P(C) leq P(A) + P(B) - 1D. P(C) geq P(A) + P(B) - 1
设当事件A和B同时发生时，事件C必发生，则下列选项正确的是（ ） A. $P(C) = P(AB)$ B. $P(C) = P(A \cup B)$ C. $P(C) \leq P(A) + P(B) - 1$ D. $P(C) \geq P(A) + P(B) - 1$
题目解答
答案
我们来分析这个概率题。
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### **题目已知条件：**
当事件 $ A $ 和 $ B $ 同时发生时，事件 $ C $ 必发生。
用概率语言表达就是：
> 若 $ AB $ 发生，则 $ C $ 必发生，即 $ AB \subseteq C $
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### **我们要判断哪一个选项正确。**
我们先回顾几个概率公式：
1. **事件包含关系的概率不等式：**
如果 $ A \subseteq B $，那么 $ P(A) \leq P(B) $
2. **概率的加法公式：**
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)
$$
3. **事件交集的上界：**
$$
P(AB) \leq \min(P(A), P(B))
$$
---
### **分析题干条件：**
已知 $ AB \subseteq C $，根据概率的单调性，有：
$$
P(AB) \leq P(C)
$$
即：
$$
P(C) \geq P(AB)
$$
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### **逐项分析选项：**
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#### **A. $ P(C) = P(AB) $**
这表示事件 $ C $ 恰好等于 $ AB $，即只有 $ AB $ 发生时 $ C $ 才发生。但题目只说“当 $ AB $ 发生时，$ C $ 必发生”，并没有说“只有”在这种情况下 $ C $ 才发生。所以 **A 错误**。
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#### **B. $ P(C) = P(A \cup B) $**
这个选项表示 $ C $ 发生的概率等于 $ A $ 或 $ B $ 发生的概率。这没有根据，题干没有给出 $ C $ 与 $ A \cup B $ 的关系，**B 错误**。
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#### **C. $ P(C) \leq P(A) + P(B) - 1 $**
我们来分析右边：
$$
P(A) + P(B) - 1
$$
注意，根据概率的加法公式：
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)
$$
所以：
$$
P(A) + P(B) - 1 = P(A \cup B) + P(AB) - 1
$$
这个表达式并不一定有明确意义，而且从题干我们知道 $ P(C) \geq P(AB) $，但这个选项说的是 $ P(C) \leq \text{某个值} $，我们无法从题干推出这个不等式，**C 错误**。
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#### **D. $ P(C) \geq P(A) + P(B) - 1 $**
我们来验证这个是否成立。
从上面的加法公式：
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)
\Rightarrow P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)
$$
又因为 $ P(AB) \leq P(C) $，所以：
$$
P(C) \geq P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)
$$
而 $ P(A \cup B) \leq 1 $，所以：
$$
P(C) \geq P(A) + P(B) - P(A \cup B) \geq P(A) + P(B) - 1
$$
所以：
$$
P(C) \geq P(A) + P(B) - 1
$$
这个不等式成立！
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### **结论：**
正确答案是：
$$
\boxed{D}
$$
解析
考查要点：本题主要考查事件包含关系的概率性质及概率不等式的推导，需要结合事件的包含关系和概率的加法公式进行分析。
解题核心思路：
- 事件包含关系：当$AB \subseteq C$时，根据概率的单调性，可得$P(AB) \leq P(C)$。
- 概率加法公式：利用$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$，推导出$P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$。
- 结合不等式关系：通过$P(A \cup B) \leq 1$，进一步推导出$P(AB) \geq P(A) + P(B) - 1$，最终得到$P(C) \geq P(A) + P(B) - 1$。
破题关键点：
- 明确事件包含关系是解题的起点，直接导出$P(C) \geq P(AB)$。
- 灵活运用概率加法公式，将$P(AB)$与$P(A) + P(B)$关联。
- 利用概率的上界性质（$P(A \cup B) \leq 1$），建立最终不等式。
选项分析
选项A
若$P(C) = P(AB)$，则说明$C$仅在$AB$发生时发生。但题目仅说明$AB \subseteq C$，未排除$C$包含其他情况的可能性，因此A错误。
选项B
$P(C) = P(A \cup B)$表示$C$与$A \cup B$概率相等，但题干未提及$C$与$A \cup B$的关系，B错误。
选项C
$P(C) \leq P(A) + P(B) - 1$试图给出$P(C)$的上界，但根据题干条件，我们只能确定$P(C) \geq P(AB)$，无法推导出该上界，C错误。
选项D
通过以下推导验证：
- 由加法公式得：
$P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B).$ - 因$P(A \cup B) \leq 1$，代入得：
$P(AB) \geq P(A) + P(B) - 1.$ - 结合$P(C) \geq P(AB)$，最终得：
$P(C) \geq P(A) + P(B) - 1.$
因此D正确。