题目
(10)数字发射器将信息A，B传送出去，A，B传送的频繁程度之比为2:1.接收机收到时，信息A被误认为B的概率为0.02，信息B被误认为A的概率为0.01.若已经收到信息A，则原发信息为A的概率为______.
(10)数字发射器将信息A，B传送出去，A，B传送的频繁程度之比为2:1.接收机收到时，信息A被误认为B的概率为0.02，信息B被误认为A的概率为0.01.若已经收
到信息A，则原发信息为A的概率为______.
题目解答
答案
设原发信息A的概率为 $ P(A) = \frac{2}{3} $，原发信息B的概率为 $ P(B) = \frac{1}{3} $。
已知：
- $ P(\text{A被误认为B}) = 0.02 $，则 $ P(\text{A正确接收}) = 0.98 $；
- $ P(\text{B被误认为A}) = 0.01 $，则 $ P(\text{B正确接收}) = 0.99 $。
计算接收到信息A的概率：
\[
P(\text{接收到A}) = P(A) \cdot P(\text{A正确接收}) + P(B) \cdot P(\text{B被误认为A}) = \frac{2}{3} \cdot 0.98 + \frac{1}{3} \cdot 0.01 = \frac{1.96}{3} + \frac{0.01}{3} = \frac{1.97}{3}
\]
计算已知接收到A时原发信息为A的条件概率：
\[
P(\text{原发A | 接收到A}) = \frac{P(A) \cdot P(\text{A正确接收})}{P(\text{接收到A})} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 0.98}{\frac{1.97}{3}} = \frac{1.96}{1.97} = \frac{196}{197}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{196}{197}}$
解析
步骤 1：定义事件概率
设原发信息A的概率为 $ P(A) = \frac{2}{3} $，原发信息B的概率为 $ P(B) = \frac{1}{3} $。
步骤 2：计算正确接收和误接收的概率
- $ P(\text{A被误认为B}) = 0.02 $，则 $ P(\text{A正确接收}) = 0.98 $；
- $ P(\text{B被误认为A}) = 0.01 $，则 $ P(\text{B正确接收}) = 0.99 $。
步骤 3：计算接收到信息A的概率
\[ P(\text{接收到A}) = P(A) \cdot P(\text{A正确接收}) + P(B) \cdot P(\text{B被误认为A}) = \frac{2}{3} \cdot 0.98 + \frac{1}{3} \cdot 0.01 = \frac{1.96}{3} + \frac{0.01}{3} = \frac{1.97}{3} \]
步骤 4：计算已知接收到A时原发信息为A的条件概率
\[ P(\text{原发A | 接收到A}) = \frac{P(A) \cdot P(\text{A正确接收})}{P(\text{接收到A})} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 0.98}{\frac{1.97}{3}} = \frac{1.96}{1.97} = \frac{196}{197} \]
设原发信息A的概率为 $ P(A) = \frac{2}{3} $，原发信息B的概率为 $ P(B) = \frac{1}{3} $。
步骤 2：计算正确接收和误接收的概率
- $ P(\text{A被误认为B}) = 0.02 $，则 $ P(\text{A正确接收}) = 0.98 $；
- $ P(\text{B被误认为A}) = 0.01 $，则 $ P(\text{B正确接收}) = 0.99 $。
步骤 3：计算接收到信息A的概率
\[ P(\text{接收到A}) = P(A) \cdot P(\text{A正确接收}) + P(B) \cdot P(\text{B被误认为A}) = \frac{2}{3} \cdot 0.98 + \frac{1}{3} \cdot 0.01 = \frac{1.96}{3} + \frac{0.01}{3} = \frac{1.97}{3} \]
步骤 4：计算已知接收到A时原发信息为A的条件概率
\[ P(\text{原发A | 接收到A}) = \frac{P(A) \cdot P(\text{A正确接收})}{P(\text{接收到A})} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 0.98}{\frac{1.97}{3}} = \frac{1.96}{1.97} = \frac{196}{197} \]