题目
若曲线L为球面x^2+y^2+z^2=a^2被平面x+y+z=0所截得的圆周,则第一类曲线积分∫_L(x^2+y^2+z^2)ds的值是多少
若曲线$$L$$为球面$$x^2+y^2+z^2=a^2$$被平面$$x+y+z=0$$所截得的圆周,则第一类曲线积分$$∫_L(x^2+y^2+z^2)ds$$的值是多少
题目解答
答案
因为曲线L位于圆周上,
所以
,
故$$∫_L(x^2+y^2+z^2)ds=a^2∫_Lds$$
$$=a^2\cdot 2a$$
$$=2a^3$$
解析
步骤 1：确定曲线L的性质
曲线L是球面$$x^2+y^2+z^2=a^2$$与平面$$x+y+z=0$$的交线，即为一个圆周。由于球面的半径为a，圆周的半径为$$\frac{a}{\sqrt{3}}$$，因为平面与球面相交形成的圆的半径是球面半径乘以$$\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$，即$$a\sqrt{\frac{2}{3}}$$。
步骤 2：计算曲线L的长度
曲线L的长度为圆周的周长，即$$2\pi r$$，其中$$r$$是圆周的半径。因此，曲线L的长度为$$2\pi a\sqrt{\frac{2}{3}}$$。
步骤 3：计算第一类曲线积分
由于曲线L位于球面上，所以对于曲线L上的任意一点，有$$x^2+y^2+z^2=a^2$$。因此，第一类曲线积分$$∫_L(x^2+y^2+z^2)ds$$可以简化为$$a^2∫_Lds$$。根据步骤2，$$∫_Lds$$等于曲线L的长度，即$$2\pi a\sqrt{\frac{2}{3}}$$。因此，第一类曲线积分的值为$$a^2\cdot 2\pi a\sqrt{\frac{2}{3}}$$。
曲线L是球面$$x^2+y^2+z^2=a^2$$与平面$$x+y+z=0$$的交线，即为一个圆周。由于球面的半径为a，圆周的半径为$$\frac{a}{\sqrt{3}}$$，因为平面与球面相交形成的圆的半径是球面半径乘以$$\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$，即$$a\sqrt{\frac{2}{3}}$$。
步骤 2：计算曲线L的长度
曲线L的长度为圆周的周长，即$$2\pi r$$，其中$$r$$是圆周的半径。因此，曲线L的长度为$$2\pi a\sqrt{\frac{2}{3}}$$。
步骤 3：计算第一类曲线积分
由于曲线L位于球面上，所以对于曲线L上的任意一点，有$$x^2+y^2+z^2=a^2$$。因此，第一类曲线积分$$∫_L(x^2+y^2+z^2)ds$$可以简化为$$a^2∫_Lds$$。根据步骤2，$$∫_Lds$$等于曲线L的长度，即$$2\pi a\sqrt{\frac{2}{3}}$$。因此，第一类曲线积分的值为$$a^2\cdot 2\pi a\sqrt{\frac{2}{3}}$$。