× 1-16 一质量为m的小球最初位于如图所示的-|||-A点,然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑.试求-|||-小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力.-|||-A. B-|||-一 O-|||-11-|||-α r-|||-1-|||-D-|||-习题 1-16 图

考查要点：本题主要考查机械能守恒（或动能定理）的应用，以及圆周运动中向心力的计算。
解题思路：

1. 确定高度差：明确小球初始位置（A点）与目标位置（C点）的高度差，这是计算动能的关键。
2. 应用动能定理：重力做功转化为动能，求出小球到达C点的速度。
3. 角速度计算：利用线速度与角速度的关系式 $\omega = \frac{v}{r}$。
4. 向心力分析：在C点，轨道对小球的支持力与重力的合力提供向心力，结合牛顿第三定律求作用力。

破题关键：

• 高度差的判断：若A点为圆轨道最高点，C点与圆心等高，则高度差 $h = r$。
• 向心力方向：在C点，向心力方向竖直向上，需正确列平衡方程。

步骤1：应用动能定理求速度

小球从A点下滑到C点，重力做功转化为动能。
高度差 $h = r$，根据动能定理：
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gr}$

步骤2：计算角速度

线速度与角速度关系为：
$\omega = \frac{v}{r} = \frac{\sqrt{2gr}}{r} = \sqrt{\frac{2g}{r}}$

步骤3：求轨道作用力

在C点，轨道对小球的支持力 $N$ 与重力 $mg$ 的合力提供向心力：
$N - mg = \frac{mv^2}{r}$
代入 $v^2 = 2gr$：
$N = mg + \frac{m \cdot 2gr}{r} = mg + 2mg = 3mg$
根据牛顿第三定律，小球对轨道的作用力大小为 $3mg$。