题目
6.证明:方程 ^3+3x=10 在区间(0,2)内至少有一个实根.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = x^3 + 3x - 10$，则原方程 $x^3 + 3x = 10$ 可以转化为 $f(x) = 0$。
步骤 2：计算端点值
计算 $f(x)$ 在区间 $(0,2)$ 的端点值：
- $f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0 - 10 = -10$
- $f(2) = 2^3 + 3 \cdot 2 - 10 = 8 + 6 - 10 = 4$
步骤 3：应用介值定理
由于 $f(x)$ 是一个连续函数，且 $f(0) = -10 < 0$，$f(2) = 4 > 0$，根据介值定理，存在 $c \in (0,2)$，使得 $f(c) = 0$。因此，方程 $x^3 + 3x = 10$ 在区间 $(0,2)$ 内至少有一个实根。
定义函数 $f(x) = x^3 + 3x - 10$，则原方程 $x^3 + 3x = 10$ 可以转化为 $f(x) = 0$。
步骤 2：计算端点值
计算 $f(x)$ 在区间 $(0,2)$ 的端点值：
- $f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0 - 10 = -10$
- $f(2) = 2^3 + 3 \cdot 2 - 10 = 8 + 6 - 10 = 4$
步骤 3：应用介值定理
由于 $f(x)$ 是一个连续函数，且 $f(0) = -10 < 0$，$f(2) = 4 > 0$，根据介值定理，存在 $c \in (0,2)$，使得 $f(c) = 0$。因此，方程 $x^3 + 3x = 10$ 在区间 $(0,2)$ 内至少有一个实根。