题目
5.设矩阵A= (} 4& 2& 3 1& 1& 0 -1& 2& 3 ) . ,求矩阵B,使其满足矩阵方程 AB=A+2B .
题目解答
答案
解析
步骤 1：将矩阵方程 AB = A + 2B 转换为标准形式
给定矩阵方程 AB = A + 2B，我们首先将其转换为标准形式，即 AB - 2B = A。这可以进一步简化为 (A - 2I)B = A，其中 I 是单位矩阵。
步骤 2：计算矩阵 A - 2I
根据步骤 1，我们需要计算矩阵 A - 2I。给定矩阵 A = $\left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right.$，单位矩阵 I = $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$，则 A - 2I = $\left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right.$ - 2 $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$ = $\left (\begin{matrix} 2& 2& 3\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：计算矩阵 (A - 2I)^-1
为了找到矩阵 B，我们需要计算矩阵 (A - 2I)^-1。给定矩阵 A - 2I = $\left (\begin{matrix} 2& 2& 3\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 1\end{matrix} ) \right.$，我们计算其逆矩阵 (A - 2I)^-1。通过计算，我们得到 (A - 2I)^-1 = $\left (\begin{matrix} 1& -4& -3\\ 1& -5& -3\\ -1& 6& 4\end{matrix} ) \right.$。
步骤 4：计算矩阵 B
根据步骤 3，我们已经得到了 (A - 2I)^-1，现在我们可以计算矩阵 B = (A - 2I)^-1A。给定矩阵 A = $\left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right.$，我们计算 B = $\left (\begin{matrix} 1& -4& -3\\ 1& -5& -3\\ -1& 6& 4\end{matrix} ) \right.$ $\left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right.$ = $\left (\begin{matrix} 3& -8& -6\\ 2& -9& -6\\ -2& 12& 9\end{matrix} ) \right.$。
给定矩阵方程 AB = A + 2B，我们首先将其转换为标准形式，即 AB - 2B = A。这可以进一步简化为 (A - 2I)B = A，其中 I 是单位矩阵。
步骤 2：计算矩阵 A - 2I
根据步骤 1，我们需要计算矩阵 A - 2I。给定矩阵 A = $\left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right.$，单位矩阵 I = $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$，则 A - 2I = $\left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right.$ - 2 $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$ = $\left (\begin{matrix} 2& 2& 3\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：计算矩阵 (A - 2I)^-1
为了找到矩阵 B，我们需要计算矩阵 (A - 2I)^-1。给定矩阵 A - 2I = $\left (\begin{matrix} 2& 2& 3\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 1\end{matrix} ) \right.$，我们计算其逆矩阵 (A - 2I)^-1。通过计算，我们得到 (A - 2I)^-1 = $\left (\begin{matrix} 1& -4& -3\\ 1& -5& -3\\ -1& 6& 4\end{matrix} ) \right.$。
步骤 4：计算矩阵 B
根据步骤 3，我们已经得到了 (A - 2I)^-1，现在我们可以计算矩阵 B = (A - 2I)^-1A。给定矩阵 A = $\left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right.$，我们计算 B = $\left (\begin{matrix} 1& -4& -3\\ 1& -5& -3\\ -1& 6& 4\end{matrix} ) \right.$ $\left (\begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{matrix} ) \right.$ = $\left (\begin{matrix} 3& -8& -6\\ 2& -9& -6\\ -2& 12& 9\end{matrix} ) \right.$。