题目
2-49 试证质点在有心力场中运动时,因所受作用力处处指向“力心”这一点,则在相等的时间内，它对力心的位矢在空间将扫过相等的面积.
2-49 试证质点在有心力场中运动时,因所受作用力处处指向“力心”这一点,则在相等的时间内，它对力心的位矢在空间将扫过相等的面积.
题目解答
答案
要证明的是在有心力作用下，质点对于力心的位矢扫过相等面积的规律，也即开普勒的第二定律。我们从角动量守恒定律出发来进行证明：
设质点质量为
，位矢（从力心指向质点的向量）为 
，速度为 
。质点受到的有心力 
始终沿着位矢的方向。
角动量 
定义为质点位矢 和动量 
的叉乘，即：
由于始终指向力心，它对力心的力矩为零：
因为没有外力矩作用，根据角动量守恒定律，是守恒的，所以：
现在考虑在微小时间 
内质点位矢扫过的面积 
。面积元素可以通过位矢和位移的叉乘来获得：
由于质点的位移 
可以用速度 表示
，我们可以写出：
对该式两边同时除以 得到面积速度
：
注意到
实际上就是角动量 除以质量 的表达式，所以：
因为 是守恒的，它的大小不随时间变化，所以也是一个常数，这就证明了在有心力作用下，质点在相等时间内扫过的面积是相等的。这就是开普勒的面积定律或称为面积速度守恒定律。
解析
步骤 1：定义角动量
角动量 $\overrightarrow{L}$ 定义为质点位矢 $\overrightarrow{r}$ 和动量 $\overrightarrow{p} = m\overrightarrow{v}$ 的叉乘，即：
$$
\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times m\overrightarrow{v}
$$
步骤 2：有心力的性质
由于有心力 $\overrightarrow{F}$ 始终指向力心，它对力心的力矩为零：
$$
\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = 0
$$
步骤 3：角动量守恒
因为没有外力矩作用，根据角动量守恒定律，角动量 $\overrightarrow{L}$ 是守恒的，所以：
$$
\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = 0
$$
步骤 4：面积速度
考虑在微小时间 $dt$ 内质点位矢扫过的面积 $dA$。面积元素可以通过位矢和位移的叉乘来获得：
$$
d\overrightarrow{A} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{r} \times d\overrightarrow{r})
$$
由于质点的位移 $d\overrightarrow{r}$ 可以用速度 $\overrightarrow{v}$ 表示 $d\overrightarrow{r} = \overrightarrow{v}dt$，我们可以写出：
$$
d\overrightarrow{A} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v}dt)
$$
对该式两边同时除以 $dt$ 得到面积速度 $\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}$：
$$
\frac{d\overrightarrow{A}}{dt} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v})
$$
步骤 5：面积速度与角动量的关系
注意到 $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v}$ 实际上就是角动量 $\overrightarrow{L}$ 除以质量 $m$ 的表达式，所以：
$$
\frac{d\overrightarrow{A}}{dt} = \frac{1}{2m}\overrightarrow{L}
$$
因为 $\overrightarrow{L}$ 是守恒的，它的大小不随时间变化，所以 $\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}$ 也是一个常数，这就证明了在有心力作用下，质点在相等时间内扫过的面积是相等的。这就是开普勒的面积定律或称为面积速度守恒定律。
角动量 $\overrightarrow{L}$ 定义为质点位矢 $\overrightarrow{r}$ 和动量 $\overrightarrow{p} = m\overrightarrow{v}$ 的叉乘，即：
$$
\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times m\overrightarrow{v}
$$
步骤 2：有心力的性质
由于有心力 $\overrightarrow{F}$ 始终指向力心，它对力心的力矩为零：
$$
\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = 0
$$
步骤 3：角动量守恒
因为没有外力矩作用，根据角动量守恒定律，角动量 $\overrightarrow{L}$ 是守恒的，所以：
$$
\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = 0
$$
步骤 4：面积速度
考虑在微小时间 $dt$ 内质点位矢扫过的面积 $dA$。面积元素可以通过位矢和位移的叉乘来获得：
$$
d\overrightarrow{A} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{r} \times d\overrightarrow{r})
$$
由于质点的位移 $d\overrightarrow{r}$ 可以用速度 $\overrightarrow{v}$ 表示 $d\overrightarrow{r} = \overrightarrow{v}dt$，我们可以写出：
$$
d\overrightarrow{A} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v}dt)
$$
对该式两边同时除以 $dt$ 得到面积速度 $\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}$：
$$
\frac{d\overrightarrow{A}}{dt} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v})
$$
步骤 5：面积速度与角动量的关系
注意到 $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v}$ 实际上就是角动量 $\overrightarrow{L}$ 除以质量 $m$ 的表达式，所以：
$$
\frac{d\overrightarrow{A}}{dt} = \frac{1}{2m}\overrightarrow{L}
$$
因为 $\overrightarrow{L}$ 是守恒的，它的大小不随时间变化，所以 $\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}$ 也是一个常数，这就证明了在有心力作用下，质点在相等时间内扫过的面积是相等的。这就是开普勒的面积定律或称为面积速度守恒定律。