题目
2、设f(x)在区间[0,1]上可导, (1)=2(int )_(0)^dfrac (1{2)}(x)^2f(x)dx, 证明:存在 varepsilon in (0,1),-|||-使得 (xi )+xi f'(xi )=0
题目解答
答案
可以利用拉格朗日中值定理，他符合条件，我们令里面被积函数，x=1, 则有f(1)=2积分符号(0，1/2)f(1)
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x) = x^2 f(x)$，则 $F(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可导。
步骤 2：计算 $F(1)$
根据题设条件，$f(1) = 2{\int }_{0}^{\dfrac {1}{2}}{x}^{2}f(x)dx$，则 $F(1) = 1^2 f(1) = 2{\int }_{0}^{\dfrac {1}{2}}{x}^{2}f(x)dx$。
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $F'(\xi) = \frac{F(1) - F(0)}{1 - 0} = 2{\int }_{0}^{\dfrac {1}{2}}{x}^{2}f(x)dx$。
步骤 4：计算 $F'(\xi)$
$F'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x)$，则 $F'(\xi) = 2\xi f(\xi) + \xi^2 f'(\xi)$。
步骤 5：联立等式
联立步骤 3 和步骤 4 的等式，得到 $2\xi f(\xi) + \xi^2 f'(\xi) = 2{\int }_{0}^{\dfrac {1}{2}}{x}^{2}f(x)dx$。
步骤 6：化简等式
化简等式，得到 $2f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
构造辅助函数 $F(x) = x^2 f(x)$，则 $F(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可导。
步骤 2：计算 $F(1)$
根据题设条件，$f(1) = 2{\int }_{0}^{\dfrac {1}{2}}{x}^{2}f(x)dx$，则 $F(1) = 1^2 f(1) = 2{\int }_{0}^{\dfrac {1}{2}}{x}^{2}f(x)dx$。
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $F'(\xi) = \frac{F(1) - F(0)}{1 - 0} = 2{\int }_{0}^{\dfrac {1}{2}}{x}^{2}f(x)dx$。
步骤 4：计算 $F'(\xi)$
$F'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x)$，则 $F'(\xi) = 2\xi f(\xi) + \xi^2 f'(\xi)$。
步骤 5：联立等式
联立步骤 3 和步骤 4 的等式，得到 $2\xi f(\xi) + \xi^2 f'(\xi) = 2{\int }_{0}^{\dfrac {1}{2}}{x}^{2}f(x)dx$。
步骤 6：化简等式
化简等式，得到 $2f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。