题目
函数(z)=dfrac (1)({e)^z-1}是周期函数吗?(填是或否)
函数
是周期函数吗?(填是或否)
题目解答
答案
由于
单调递增，因此为单调减函数，故f(z)不是周期函数，填否
解析
步骤 1：定义周期函数
周期函数是指存在一个非零常数$T$，使得对于函数$f(z)$的定义域内的所有$z$，都有$f(z+T)=f(z)$成立。
步骤 2：分析$f(z)=\dfrac {1}{{e}^{z}-1}$
考虑函数$f(z)=\dfrac {1}{{e}^{z}-1}$，我们需要检查是否存在一个非零常数$T$，使得$f(z+T)=f(z)$。
步骤 3：验证$f(z)$是否为周期函数
假设$f(z)$是周期函数，那么存在非零常数$T$，使得$f(z+T)=f(z)$。即$\dfrac {1}{{e}^{z+T}-1}=\dfrac {1}{{e}^{z}-1}$。这等价于${e}^{z+T}-1={e}^{z}-1$，即${e}^{z+T}={e}^{z}$。由于${e}^{z}$是单调递增的，因此只有当$T=0$时，${e}^{z+T}={e}^{z}$才成立。因此，不存在非零常数$T$，使得$f(z+T)=f(z)$，故$f(z)$不是周期函数。
周期函数是指存在一个非零常数$T$，使得对于函数$f(z)$的定义域内的所有$z$，都有$f(z+T)=f(z)$成立。
步骤 2：分析$f(z)=\dfrac {1}{{e}^{z}-1}$
考虑函数$f(z)=\dfrac {1}{{e}^{z}-1}$，我们需要检查是否存在一个非零常数$T$，使得$f(z+T)=f(z)$。
步骤 3：验证$f(z)$是否为周期函数
假设$f(z)$是周期函数，那么存在非零常数$T$，使得$f(z+T)=f(z)$。即$\dfrac {1}{{e}^{z+T}-1}=\dfrac {1}{{e}^{z}-1}$。这等价于${e}^{z+T}-1={e}^{z}-1$，即${e}^{z+T}={e}^{z}$。由于${e}^{z}$是单调递增的，因此只有当$T=0$时，${e}^{z+T}={e}^{z}$才成立。因此，不存在非零常数$T$，使得$f(z+T)=f(z)$，故$f(z)$不是周期函数。