题目
设A,B,C均为n阶矩阵,则下列结论或等式成立的是( )A. ((AB))^2 =((AB))^2 B. 若AB=AC且A≠0,则B=C C. ((AB))^2 D. 若A≠0,B≠0,则AB≠0
设A,B,C均为n阶矩阵,则下列结论或等式成立的是( )
A.
=
B. 若AB=AC且A≠0,则B=C
C.
D. 若A≠0,B≠0,则AB≠0
题目解答
答案
C. ((A+B)C)^T= C^T(B^T+A^T)
解析
步骤 1：分析选项A
选项A中，${(AB)}^{2}$ =${A}^{2}{B}^{2}$，这表示矩阵乘法的平方。然而，矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。因此，${(AB)}^{2}$ =${A}^{2}{B}^{2}$ 不一定成立。
步骤 2：分析选项B
选项B中，若AB=AC且A≠0，这表示矩阵A乘以矩阵B等于矩阵A乘以矩阵C。然而，矩阵乘法不满足消去律，即AB=AC不一定能推出B=C。因此，选项B不一定成立。
步骤 3：分析选项C
选项C中，${(A+B)C)}^{T}={C}^{T}({B}^{T}+{A}^{T})$，这表示矩阵乘法和转置的性质。根据矩阵乘法和转置的性质，${(A+B)C)}^{T}={C}^{T}({B}^{T}+{A}^{T})$ 成立。
步骤 4：分析选项D
选项D中，若A≠0,B≠0,则AB≠0，这表示矩阵乘法的性质。然而，矩阵乘法不满足零因子性质，即A≠0,B≠0不一定能推出AB≠0。因此，选项D不一定成立。
选项A中，${(AB)}^{2}$ =${A}^{2}{B}^{2}$，这表示矩阵乘法的平方。然而，矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。因此，${(AB)}^{2}$ =${A}^{2}{B}^{2}$ 不一定成立。
步骤 2：分析选项B
选项B中，若AB=AC且A≠0，这表示矩阵A乘以矩阵B等于矩阵A乘以矩阵C。然而，矩阵乘法不满足消去律，即AB=AC不一定能推出B=C。因此，选项B不一定成立。
步骤 3：分析选项C
选项C中，${(A+B)C)}^{T}={C}^{T}({B}^{T}+{A}^{T})$，这表示矩阵乘法和转置的性质。根据矩阵乘法和转置的性质，${(A+B)C)}^{T}={C}^{T}({B}^{T}+{A}^{T})$ 成立。
步骤 4：分析选项D
选项D中，若A≠0,B≠0,则AB≠0，这表示矩阵乘法的性质。然而，矩阵乘法不满足零因子性质，即A≠0,B≠0不一定能推出AB≠0。因此，选项D不一定成立。