三、λ取何值时，线性方程组}(1+lambda)x_{1)+x_(2)+x_(3)=0x_(1)+(1+lambda)x_(2)+x_(3)=3x_(1)+x_(2)+(1+lambda)x_(3)=lambda.有唯一解，无穷多解，无解？若有无穷多解，求出方程组的通解.

为了确定线性方程组 \[ \left\{\begin{matrix}(1+\lambda)x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}+(1+\lambda)x_{2}+x_{3}=3\\x_{1}+x_{2}+(1+\lambda)x_{3}=\lambda\end{matrix}\right. \] 有唯一解、无穷多解或无解的条件，我们需要分析该方程组的系数矩阵和增广矩阵的行列式。系数矩阵 $A$ 为 \[ A = \begin{pmatrix} 1+\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1+\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1+\lambda \end{pmatrix}. \] 增广矩阵 $\bar{A}$ 为 \[ \bar{A} = \begin{pmatrix} 1+\lambda & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1+\lambda & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1+\lambda & \lambda \end{pmatrix}. \] ### 步骤1：计算系数矩阵 $A$ 的行列式 首先，我们计算 $A$ 的行列式： \[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1+\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1+\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1+\lambda \end{vmatrix}. \] 使用行列式展开，我们得到 \[ \det(A) = (1+\lambda) \begin{vmatrix} 1+\lambda & 1 \\ 1 & 1+\lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1+\lambda \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 1+\lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix}. \] 计算2阶行列式，我们有 \[ \begin{vmatrix} 1+\lambda & 1 \\ 1 & 1+\lambda \end{vmatrix} = (1+\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 + 2\lambda, \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1+\lambda \end{vmatrix} = 1 \cdot (1+\lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda, \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 1+\lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (1+\lambda) = -\lambda. \] 代入这些值，我们得到 \[ \det(A) = (1+\lambda)(\lambda^2 + 2\lambda) - \lambda - \lambda = \lambda^3 + 3\lambda^2 + 2\lambda - 2\lambda = \lambda^2(\lambda + 3). \] 所以，$\det(A) = \lambda^2(\lambda + 3)$. ### 步骤2：确定有唯一解的条件 线性方程组有唯一解当且仅当 $\det(A) \neq 0$。因此，我们解不等式 \[ \lambda^2(\lambda + 3) \neq 0. \] 这等价于 \[ \lambda \neq 0 \quad \text{且} \quad \lambda \neq -3. \] 所以，当 $\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq -3$ 时，方程组有唯一解. ### 步骤3：确定无解或无穷多解的条件 当 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = -3$ 时，$\det(A) = 0$，方程组可能无解或有无穷多解。我们需要检查增广矩阵 $\bar{A}$ 的秩。 #### 情况1：$\lambda = 0$ 此时，增广矩阵为 \[ \bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \] 对 $\bar{A}$ 进行行初等变换，我们得到 \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] 矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，所以方程组无解. #### 情况2：$\lambda = -3$ 此时，增广矩阵为 \[ \bar{A} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}. \] 对 $\bar{A}$ 进行行初等变换，我们得到 \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & -3 & -6 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}. \] 矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，所以方程组无解. ### 步骤4：总结 - 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq -3$ 时，方程组有唯一解. - 当 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = -3$ 时，方程组无解. 由于方程组没有无穷多解的情况，我们不需要求通解. 最终答案是: \[ \boxed{\text{当 } \lambda \neq 0 \text{ 且 } \lambda \neq -3 \text{ 时，方程组有唯一解; 当 } \lambda = 0 \text{ 或 } \lambda = -3 \text{ 时，方程组无解.}} \]