题目
设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导，设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导，设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导
，
，
题目解答
答案
证明：令
，
根据初等函数及
的性质，
在区间
连续，在区间
可导，且
，
则
。
由罗尔定理可知，存在
使得
，
则存在
使
又
，
则
。
综上所述，存在不同两点
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数$F(x)=f(x)-\dfrac {1}{3}{x}^{3}$，这样可以利用已知条件$f(0)=0$和$f(1)=\dfrac {1}{3}$，以及$f(x)$在[0,1]上连续，在(0,1)内可导的性质。
步骤 2：验证辅助函数的性质
根据初等函数及$f(x)$的性质，$F(x)$在区间$[0,1]$上连续，在区间$(0,1)$内可导，且$F(0)=f(0)-\dfrac {1}{3}\cdot 0^{3}=0$，$F(1)=f(1)-\dfrac {1}{3}\cdot 1^{3}=0$。
步骤 3：应用罗尔定理
由罗尔定理可知，存在$\varepsilon \in (0,1)$，使得$F'(\varepsilon)=0$。由于$F(x)$在$(0,1)$内可导，因此存在$\xi_1, \xi_2 \in (0,1)$，使得$F'(\xi_1)=0$和$F'(\xi_2)=0$。
步骤 4：计算导数
$F'(x)=f'(x)-x^{2}$，因此$F'(\xi_1)=f'(\xi_1)-\xi_1^{2}=0$和$F'(\xi_2)=f'(\xi_2)-\xi_2^{2}=0$。
步骤 5：证明结论
由$F'(\xi_1)=0$和$F'(\xi_2)=0$，得到$f'(\xi_1)-\xi_1^{2}=0$和$f'(\xi_2)-\xi_2^{2}=0$，即$f'(\xi_1)=\xi_1^{2}$和$f'(\xi_2)=\xi_2^{2}$。因此，$f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=\xi_1^{2}+\xi_2^{2}$。
构造辅助函数$F(x)=f(x)-\dfrac {1}{3}{x}^{3}$，这样可以利用已知条件$f(0)=0$和$f(1)=\dfrac {1}{3}$，以及$f(x)$在[0,1]上连续，在(0,1)内可导的性质。
步骤 2：验证辅助函数的性质
根据初等函数及$f(x)$的性质，$F(x)$在区间$[0,1]$上连续，在区间$(0,1)$内可导，且$F(0)=f(0)-\dfrac {1}{3}\cdot 0^{3}=0$，$F(1)=f(1)-\dfrac {1}{3}\cdot 1^{3}=0$。
步骤 3：应用罗尔定理
由罗尔定理可知，存在$\varepsilon \in (0,1)$，使得$F'(\varepsilon)=0$。由于$F(x)$在$(0,1)$内可导，因此存在$\xi_1, \xi_2 \in (0,1)$，使得$F'(\xi_1)=0$和$F'(\xi_2)=0$。
步骤 4：计算导数
$F'(x)=f'(x)-x^{2}$，因此$F'(\xi_1)=f'(\xi_1)-\xi_1^{2}=0$和$F'(\xi_2)=f'(\xi_2)-\xi_2^{2}=0$。
步骤 5：证明结论
由$F'(\xi_1)=0$和$F'(\xi_2)=0$，得到$f'(\xi_1)-\xi_1^{2}=0$和$f'(\xi_2)-\xi_2^{2}=0$，即$f'(\xi_1)=\xi_1^{2}$和$f'(\xi_2)=\xi_2^{2}$。因此，$f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=\xi_1^{2}+\xi_2^{2}$。