题目
7.说明(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0的类别，并求通解；
7.说明$(y^{4}-2x^{3}y)dx+(x^{4}-2xy^{3})dy=0$的类别，并求通解；
题目解答
答案
将原方程改写为齐次形式，令 $y = ux$，则 $dy = udx + xdu$。代入方程并整理得：
$$
\frac{dx}{x} = \frac{1 - 2u^3}{u(u^3 + 1)}du
$$
对右侧进行部分分式分解并积分，得到：
$$
\ln |x| = \ln \left| \frac{u}{(u^3 + 1)^{2/3}} \right| + C
$$
化简得通解：
$$
\boxed{x^3 + y^3 = Cxy}
$$