题目
6.求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数 dfrac ({d)^2y}(d{x)^2}:-|||-(1) ) x=a(cos )^3t, y=a(sin )^3t; .
题目解答
答案
解析
(1) 步骤 1：计算 $\dfrac {dy}{dt}$ 和 $\dfrac {dx}{dt}$
根据给定的参数方程，我们首先计算 $y$ 和 $x$ 对 $t$ 的导数。
$\dfrac {dy}{dt} = 3a{\sin }^{2}t\cos t$
$\dfrac {dx}{dt} = -3a{\cos }^{2}t\sin t$
步骤 2：计算 $\dfrac {dy}{dx}$
利用链式法则，我们有 $\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}$。
代入上面计算的导数，得到 $\dfrac {dy}{dx} = -\dfrac {\sin t}{\cos t} = -\tan t$。
步骤 3：计算 $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$
为了计算二阶导数，我们需要对 $\dfrac {dy}{dx}$ 再次求导，即 $\dfrac {d}{dx}(-\tan t)$。
利用链式法则，我们有 $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}} = \dfrac {d}{dt}(-\tan t) \cdot \dfrac {dt}{dx}$。
$\dfrac {d}{dt}(-\tan t) = -{\sec }^{2}t$，而 $\dfrac {dt}{dx} = \dfrac {1}{\dfrac {dx}{dt}} = -\dfrac {1}{3a{\cos }^{2}t\sin t}$。
因此，$\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}} = -{\sec }^{2}t \cdot (-\dfrac {1}{3a{\cos }^{2}t\sin t}) = \dfrac {1}{3a\sin t{\cos }^{4}t}$。
(2) 步骤 1：计算 $\dfrac {dy}{dt}$ 和 $\dfrac {dx}{dt}$
根据给定的参数方程，我们首先计算 $y$ 和 $x$ 对 $t$ 的导数。
$\dfrac {dy}{dt} = {e}^{t}(\sin t + \cos t)$
$\dfrac {dx}{dt} = {e}^{t}(\cos t - \sin t)$
步骤 2：计算 $\dfrac {dy}{dx}$
利用链式法则，我们有 $\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}$。
代入上面计算的导数，得到 $\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}$。
步骤 3：计算 $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$
为了计算二阶导数，我们需要对 $\dfrac {dy}{dx}$ 再次求导，即 $\dfrac {d}{dx}(\dfrac {\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t})$。
利用链式法则，我们有 $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}} = \dfrac {d}{dt}(\dfrac {\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}) \cdot \dfrac {dt}{dx}$。
$\dfrac {d}{dt}(\dfrac {\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}) = \dfrac {2}{{(\cos t - \sin t)}^{2}}$，而 $\dfrac {dt}{dx} = \dfrac {1}{\dfrac {dx}{dt}} = \dfrac {1}{{e}^{t}(\cos t - \sin t)}$。
因此，$\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}} = \dfrac {2}{{(\cos t - \sin t)}^{2}} \cdot \dfrac {1}{{e}^{t}(\cos t - \sin t)} = \dfrac {2}{{e}^{t}{(\cos t - \sin t)}^{3}}$。
根据给定的参数方程，我们首先计算 $y$ 和 $x$ 对 $t$ 的导数。
$\dfrac {dy}{dt} = 3a{\sin }^{2}t\cos t$
$\dfrac {dx}{dt} = -3a{\cos }^{2}t\sin t$
步骤 2：计算 $\dfrac {dy}{dx}$
利用链式法则，我们有 $\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}$。
代入上面计算的导数，得到 $\dfrac {dy}{dx} = -\dfrac {\sin t}{\cos t} = -\tan t$。
步骤 3：计算 $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$
为了计算二阶导数，我们需要对 $\dfrac {dy}{dx}$ 再次求导，即 $\dfrac {d}{dx}(-\tan t)$。
利用链式法则，我们有 $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}} = \dfrac {d}{dt}(-\tan t) \cdot \dfrac {dt}{dx}$。
$\dfrac {d}{dt}(-\tan t) = -{\sec }^{2}t$，而 $\dfrac {dt}{dx} = \dfrac {1}{\dfrac {dx}{dt}} = -\dfrac {1}{3a{\cos }^{2}t\sin t}$。
因此，$\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}} = -{\sec }^{2}t \cdot (-\dfrac {1}{3a{\cos }^{2}t\sin t}) = \dfrac {1}{3a\sin t{\cos }^{4}t}$。
(2) 步骤 1：计算 $\dfrac {dy}{dt}$ 和 $\dfrac {dx}{dt}$
根据给定的参数方程，我们首先计算 $y$ 和 $x$ 对 $t$ 的导数。
$\dfrac {dy}{dt} = {e}^{t}(\sin t + \cos t)$
$\dfrac {dx}{dt} = {e}^{t}(\cos t - \sin t)$
步骤 2：计算 $\dfrac {dy}{dx}$
利用链式法则，我们有 $\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}$。
代入上面计算的导数，得到 $\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}$。
步骤 3：计算 $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$
为了计算二阶导数，我们需要对 $\dfrac {dy}{dx}$ 再次求导，即 $\dfrac {d}{dx}(\dfrac {\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t})$。
利用链式法则，我们有 $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}} = \dfrac {d}{dt}(\dfrac {\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}) \cdot \dfrac {dt}{dx}$。
$\dfrac {d}{dt}(\dfrac {\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}) = \dfrac {2}{{(\cos t - \sin t)}^{2}}$，而 $\dfrac {dt}{dx} = \dfrac {1}{\dfrac {dx}{dt}} = \dfrac {1}{{e}^{t}(\cos t - \sin t)}$。
因此，$\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}} = \dfrac {2}{{(\cos t - \sin t)}^{2}} \cdot \dfrac {1}{{e}^{t}(\cos t - \sin t)} = \dfrac {2}{{e}^{t}{(\cos t - \sin t)}^{3}}$。