1、求具有固定长的向量函数vec(r)(t)关于其参数t的旋转速度。

本题考查向量函数的求导、向量的点积、叉积以及旋转速度的概念。解题的关键思路是先利用向量长度固定这一条件得出向量与其导数垂直的关系，再通过定义单位向量的变化率来求解旋转速度，同时也可以利用叉积的性质得到另一种表示形式。

1. 利用向量长度固定求导：
   已知向量函数$\vec{r}(t)$的长度固定为$R$，即$|\vec{r}(t)| = R$。对等式两边关于$t$求导，根据复合函数求导法则以及向量模长的求导公式$(|\vec{A}|)^\prime=\frac{\vec{A}\cdot\vec{A}^\prime}{|\vec{A}|}$，可得：
   $\frac{\vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)}{|\vec{r}(t)|}=0$
   因为$|\vec{r}(t)| = R\neq0$，所以$\vec{r}(t) \cdot \vec{r}'(t) = 0$，这表明$\vec{r}(t)$与$\vec{r}'(t)$垂直。
2. 定义单位向量并求其变化率：
   单位向量$\hat{r}(t) = \frac{\vec{r}(t)}{R}$，对其求导，根据求导的除法法则$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，这里$u = \vec{r}(t)$，$v = R$（$R$为常数，$v^\prime = 0$），可得：
   $\hat{r}'(t)=\frac{\vec{r}'(t)}{R}$
   旋转速度定义为单位向量$\hat{r}(t)$的变化率的大小，即$|\hat{r}'(t)|$，所以$|\hat{r}'(t)| = \frac{|\vec{r}'(t)|}{R}$，又因为$R = |\vec{r}(t)|$，所以旋转速度为$\frac{|\vec{r}'(t)|}{|\vec{r}(t)|}$。
3. 利用叉积表示旋转速度：
   根据向量叉积的性质$|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$（其中$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角），由于$\vec{r}(t)$与$\vec{r}'(t)$垂直，$\sin\theta = 1$，所以$|\vec{r}(t) \times \vec{r}'(t)| = |\vec{r}(t)||\vec{r}'(t)|$。
   又因为$|\hat{r}'(t)| = \frac{|\vec{r}'(t)|}{|\vec{r}(t)|}$，将$|\vec{r}(t) \times \vec{r}'(t)| = |\vec{r}(t)||\vec{r}'(t)|$变形可得$|\vec{r}'(t)|=\frac{|\vec{r}(t) \times \vec{r}'(t)|}{|\vec{r}(t)|}$，代入$|\hat{r}'(t)|$的表达式中，得到$|\hat{r}'(t)| = \frac{|\vec{r}(t) \times \vec{r}'(t)|}{|\vec{r}(t)|^2}$，即旋转速度也可表示为$\frac{|\vec{r}(t) \times \vec{r}'(t)|}{|\vec{r}(t)|^2}$。