题目
设平面曲线 L 为上半圆周 y=sqrt(1-x^2)，则 int_(L)(x^2+y^2)ds ().A. piB. 3piC. 2piD. 4pi
设平面曲线 $L$ 为上半圆周 $y=\sqrt{1-x^2}$，则 $\int_{L}(x^2+y^2)ds$ ().
A. $\pi$
B. $3\pi$
C. $2\pi$
D. $4\pi$
题目解答
答案
A. $\pi$
解析
步骤 1：参数化曲线
将上半圆周 $y = \sqrt{1 - x^2}$ 参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，其中 $0 \leq t \leq \pi$。
步骤 2：计算弧长微元
计算弧长微元 $ds = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} \, dt = dt$。
步骤 3：计算被积函数
被积函数 $x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$。
步骤 4：计算积分
积分变为 $\int_{0}^{\pi} 1 \, dt = \pi$。
将上半圆周 $y = \sqrt{1 - x^2}$ 参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，其中 $0 \leq t \leq \pi$。
步骤 2：计算弧长微元
计算弧长微元 $ds = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} \, dt = dt$。
步骤 3：计算被积函数
被积函数 $x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$。
步骤 4：计算积分
积分变为 $\int_{0}^{\pi} 1 \, dt = \pi$。